Conjunto dos números naturais

Conjunto dos números naturais

1. Motivação: contagem

   • A quantidade de elementos de {a, a+1, a+2, ..., a+k} é k+1.

2. Operações em N

   • Adição: a soma a + b é pensada, geometricamente, como b passos para à direita, a partir de a
   • Subtração: a diferença a - b só faz sentido se b < a. Pode ser pensada, geometricamente, como b passos para à esquerda, a partir de a
   • Multiplicação: o produto a.b pode ser pensado como uma adição que tem b parcelas iguais a a.
   • Algoritmo de Euclides: dados a e b naturais, existem q e r naturais, tais que a = bq + r, com r = 0 ou 0 < r < b - 1
   • Divisão exata: o quociente a:b só faz sentido se existir c natural tal que a = b.c.
     • Escreve-se b| a e lê-se b divide a.

3. Subconjuntos importantes de N

   • Pares: números da forma 2.k, com k natural.
     • A adição de dois números pares é ainda um número par.
     • O produto de dois números pares é ainda um número par.
   • Ímpares: números da forma 2.l - 1, com l natural.
     • A adição de dois números ímpares é um número par.
     • O produto de dois números ímpares é um número ímpar.

4. Formulação axiomática

   • Axiomas de Peano
     • 1 é um número natural.
     • Todo número natural tem um sucessor.
     • Todo número natural, com exceção do número 1, é sucessor de um único número natural.
     • Se X é um subconjunto de N que contém o natural 1 e, os sucessores de todos os elementos de X ainda estão em X, então X = N.

5. Princípio da casa dos pombos

   • Se n pombos devem ser postos em m casas, e se n>m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo.