Análise Combinatória

Análise Combinatória

1. A análise combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem. Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.

2. Princípio fundamental da contagem (PFC)

   • O princípio fundamental da contagem, conhecido também como princípio multiplicativo, é a base para os cálculos envolvendo contagem de reagrupamentos. Ainda que existam fórmulas específicas para calcular alguns casos de agrupamentos, elas surgem desse princípio, conhecido também como P.F.C.

3. Permutações

   • As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis. Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
   • Permutação com repetição
     • Uma permutação com elementos repetidos acontece quando em um conjunto de n elementos, alguns destes são iguais. Na fórmula para determinar o número de permutações com repetição, dividimos o fatorial do número total n de elementos, pelo produto entre os fatoriais dos elementos que se repetem.
   • Permutação circular
     • A permutação circular é um caso de permutação em que os elementos estão dispostos em um ciclo. Na permutação circular, a ordem em que um elemento está em relação ao outro em um ciclo importa. Mas não há ordem fixa, ou seja, “girar” os elementos não gera uma nova permutação circular.
   • Permutação simples
     • Dizemos que uma permutação é simples se o conjunto permutado não contém elementos repetidos. Por exemplo, o conjunto A = {B, C, D} não contém elementos repetidos e gera as seguintes permutações: BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB. As permutações simples são casos particulares dos arranjos simples. A permutação simples é um arranjo simples em que p = n.

4. Arranjo

   • Arranjos são agrupamentos formados com p elementos de um conjunto de n elementos. Arranjos são como permutações, trocas de posição entre os elementos. Mas no caso dos arranjos, são escolhidos p elementos para ocupar as posições ordenadas. Os arranjos são um caso particular de permutações, já que p ≤ n. Por exemplo: os números de três algarismos formados pelos elementos (1, 2, 3 e 4) são: 123, 132, 421, 423, 342, e assim por diante. Cada um desses números é um arranjo diferente dos elementos (1, 2, 3 e 4). Assim, os arranjos são os agrupamentos nos quais a ordem de seus elementos faz diferença. Ou seja, mesmo que os elementos de dois arranjos sejam os mesmos, esses arranjos podem ser diferentes.
     • Maria Eduarda Pereira de Sousa - Química 1
   • Arranjo Simples
     • Dizemos que um arranjo é simples quando não ocorre a repetição de qualquer elemento do conjunto inicial. Cada elemento pode ser usado apenas uma vez. Também é chamado de arranjo simples de n elementos tomados p a p.
   • Arranjo com repetição
     • Neste tipo de arranjo, aceitam-se elementos repetidos. É possível repetir os elementos múltiplas vezes. Assim como na permutação com repetição, cada posição pode ser preenchida com qualquer um dos n elementos.
   • Arranjo condicional
     • Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos. Cálculo para o exemplo: N=A(3,2). A(7-3,4-2)=A(3,2).

5. Combinação

   • Combinação simples
     • A combinação simples é estudada pela análise combinatória, que busca desenvolver técnicas de contagem para calcular a quantidade de agrupamentos não ordenados que podemos formar escolhendo uma quantidade de elementos de um conjunto. Por exemplo, para sabermos quantos resultados distintos podem haver para um sorteio de um determinado jogo de loteria, calculamos, com a combinação, quantos agrupamentos possíveis podemos formar com 6 números entre os números de 1 a 60.
   • A combinação é um dos tipos de agrupamentos estudados na análise combinatória. Está presente em várias situações do dia a dia, como nos jogos mais comuns de carta, por exemplo, truco, poker, nos jogos de loteria, entre várias outras situações cotidianas. Combinação são todos os subconjuntos que podemos formar com uma quantidade de elementos de um conjunto maior, por exemplo, todas as combinações possíveis com 5 cartas, entre as 52 cartas do baralho.

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