Análise Combinatória

Análise Combinatória

1. Fatorial é um número natural inteiro positivo, o qual é representado por n! O fatorial de um número é calculado pela multiplicação desse número por todos os seus antecessores até chegar ao número 1.

   • Exemplos: 3! = 3 . 2 . 1 = 6 // 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

2. O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n etapas. Para isso, as etapas devem ser sucessivas e independentes.

   • Exemplo: Numa lanchonete há 8 tipos de sanduíche, 5 tipos de sucos e 6 tipos de sorvetes. Quantas são as possíveis combinações de um lanche nessa lanchonete? Utilizando o princípio fundamental da contagem temos: 8 * 5 * 6 = 240 maneiras de realizar um lanche.

3. Arranjos são agrupamentos formados com p elementos de um conjunto de n elementos. Arranjos são como permutações, trocas de posição entre os elementos. Mas no caso dos arranjos, são escolhidos p elementos para ocupar as posições ordenadas. Fómula: A n,p! / (n-p)!

   • Exemplo: Um cadeado possui 3 rodelas numeradas de 0 a 9. Quantas combinações com 3 algarismos diferentes existem? De 0 a 9, temos 10 possibilidades de algarismos para cada rodela. Mas não podemos repetir esses algarismos, logo é um arranjo simples. Para a primeira rodela, temos 10 possíveis escolha. Para a segunda rodela, não podemos repetir o elemento usado na primeira, então temos 9 possíveis escolhas para a segunda. E para a terceira rodela, não podemos repetir o elemento da primeira nem da segunda, então temos 8 possíveis escolhas para a terceira.

4. A permutação é uma técnica de contagem utilizada para determinar quantas maneiras existem para ordenar os elementos de um conjunto finito. Fazer uma permuta é realizar uma troca e, nos problemas de combinatória, significa trocar os elementos de lugar, considerando a ordenação desses.

5. Uma permutação simples é a ordenação dos elementos de um conjunto finito, quando seus elementos não se repetem, são distintos. É utilizada para determinar a quantidade dessas ordenações. A quantidade Pn de permutações de um conjunto de n elementos é igual a n! . A fórmula para determinar a quantidade de permutações simples é Pn=n!

   • Exemplo: Os diferentes modos de organizar as letras de uma palavra são chamados de anagramas. Quantos anagramas existem para a palavra PATO? ssim, como a palavra PATO possui 4 letras, temos que P com 4 subscrito espaço igual a espaço 4 fatorial espaço igual a espaço 4 espaço x espaço 3 espaço x espaço 2 espaço x espaço 1 espaço igual a espaço 24 Portanto, há 24 permutações simples para a palavra PATO.

6. Uma permutação com elementos repetidos acontece quando em um conjunto de n elementos, alguns destes são iguais. Na fórmula para determinar o número de permutações com repetição, dividimos o fatorial do número total n de elementos, pelo produto entre os fatoriais dos elementos que se repetem.

   • Exemplo: Na palavra ARAME, se trocássemos as letras A de lugar, formaríamos a mesma palavra. E pela fórmula de permutação simples, teríamos contado ARAME duas vezes. A lógica da resolução de uma questão de permutação com repetição é eliminar esses casos contados mais de uma vez.

7. A permutação circular é um caso de permutação em que os elementos estão dispostos em um ciclo. Na permutação circular, a ordem em que um elemento está em relação ao outro em um ciclo importa. Mas não há ordem fixa, ou seja, “girar” os elementos não gera uma nova permutação circular.

   • Exemplo: Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa? PC6 = (6-1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

8. A combinação simples é estudada pela análise combinatória, que busca desenvolver técnicas de contagem para calcular a quantidade de agrupamentos não ordenados que podemos formar escolhendo uma quantidade de elementos de um conjunto.

   • Suponha que os estudantes Andreia, Bernardo, Caio, Daniel e Érica disputam duas vagas no conselho da escola. Quantas comissões de 2 estudantes podemos formar escolhendo entre os 5 estudantes?