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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

Flavio Lima Portuguese

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O Oriente Antigo
- Mesopotâmia
  - A Civilização
    - Localizada entre os rios Tigre e Eufrates no atual Iraque
    - Desenvolveram a escrita cuneiforme, conheciam a roda e trabalhavam com metais
    - Caldeus, Assírios e Sumérios originaram Babilônia
    - Escreviam em cunhas gravadas em tabletes de argila cozida (escrita cuneiforme)
    - Início aproximado da civilização na Mesopotâmia - final do IV milêncio a.C. (Sumérios).
  - A Matemática em Babilônia
    - A Matemática era utilizada para resolver problemas práticos, portanto, não havia preocupação em desenvolver demonstrações matemáticas
      - A Matemática na Mesopotâmia se desenvolveu mais do que no Egito porque: (a) existia intercâmbio de informações através dos mercadores que passavam pela Mesopotâmia e (b) o regime imprevisível das inundações do Tigre e Eufrates requeria um conhecimento matemático mais apurado de modo a permitir a utilização das áreas férteis ao longo desses rios.
    - Os sistemas de numeração
      - Sistema sexagesimal (base 60)
        Era o sistema predominante em Babilônia
        Era um sistema posicional
        Símbolos
        1 e 10
        A partir do número 60 era utilizado o sistema posicional para indicar potências de 60. O símbolo na posição vertical deixava de valer 1 e passava a valer 60 na segunda posição (na terceira posição valia 60 x 60).
        O Zero
        Entre 1.800 a.C. e 1.600 a.C. não existia um símbolo para indicar a ausência de um número em uma posição.
        Após 300 a.C. passaram a utilizar um símbolo para indicar a posição vazia em um numeral.
      - Outros Sistemas de numeração
        Decimal (base 10)
        Sistema aditivo
        Utilizavam símbolos para os números 1, 10, 100, 1.000, 10.000.
        Bases 2, 12 e 24
    - Aritmética e a Álgebra
      - Tinham algum conhecimento sobre a teoria dos números
      - Conheciam as quatro operações aritméticas fundamentais
      - As operações aritméticas eram realizadas com auxílio de tabelas.
        Raízes cúbicas
        Multiplicações
        Cubos
        Quadrados
      - Trabalhavam com equações do 2 grau usando o método de completar quadrados (mesmo método empregado por Bhaskara).
      - Foram os precursores da Álgebra
        Usavam incógnitas (usando palavras no lugar de letras porque- ainda não existia o alfabeto).
        Reconheciam a existência de procedimentos específicos para alguns tipos de equações
      - Estimaram a raiz quadrada de 2 com valor aproximado em cerca de um milionésimo
      - Desconheciam os números negativos.
    - A Geometria
      - Conheciam as triplas pitagóricas (números que representam a medida da hipotenusa e dos catetos de triângulos retângulos). Os três lados com números inteiros.
      - A Geometria era utilizada para atividades práticas
      - A Geometria tinha caráter Algébrico, ou seja, os problemas Geométricos eram essencialmente problemas de álgebra
      - Conheciam o teorema de Pitágoras (não limitado ao triângulo retângulo isósceles)
      - Dividiam a circunferência em 360 partes iguais
      - Sabiam que um ângulo inscrito numa semi-circunferência é reto (Teorema enunciado por Tales cerca de 1.000 anos depois)
      - Tinham uma fórmula para calcular perímetro da circunferência utilizando o valor estimado de PI = 3 1/8
      - Calculavam o volume de um tronco de cone e o de um tronco de pirâmide quadrangular regular
      - Dividiam as horas em 60 minutos e os minutos em 60 segundos.
    - Os conhecimentos da Matemática praticada em Babilônia provavelmente foram utilizado pelos Gregos (Por exemplo, os Teoremas de Pitágoras e Tales).
- China
  - A Civilização
    - Localizada entre os rios Amarelo e Yang Tsé
    - Localizada onde está atualmente a República Popular da China
    - A cultura chinesa recebeu poucas influências externas devido ao isolamento Geográfico causado pelo Oceano Pacífico e o Deserto de Gobi. Como consequência: (a) a Matemática Chinesa se desenvolveu de forma independente e (b) ocorreu uma estagnação dos conhecimentos matemáticos.
    - Os chineses escreviam em cascas de árvore e bambu (material que se deteriora facilmente). A partir do Século I a.C. passam a usar o papel.
    - Grande parte dos registros, inclusive de Matemática, foram destruídos durante guerras e inundações. Por esse motivo temos hoje poucas informações sobre a Matemática praticada na antiga China.
  - A Matemática
    - Os principais textos da Matemática Chinesa (206 a.C. a 220 d.C.)
      - Chou Pei Suang Ching (mais antigo texto de Matemática na China)
        Cálculos astronômicos
        Matemática
        Discussões sobre o Teorema de Pitágoras que foi tratado de forma algébrica.
        Uso de Frações
      - Chiu Chang Suam Shu (Nove Capítulos da Arte Matemática)
        Apresenta problemas de Matemática com as respectivas regras para resolução
        Conteúdo
        Cálculos de Aritmética
        Cálculo de Raiz Quadrada
        Cálculo de Raiz Cúbica
        Sistemas de Equações utilizando método semelhante ao de transformações de matrizes
        Primeiro registro na história da Matemática dos números negativos aparece na resolução de sistemas de equações.
        Equações lineares resolvidas utilizando o método da falsa posição.
    - O sistema de numeração
      - Sistema Decimal com 4 símbolos (1, 6, 10 e 60)
      - Sistema Posicional com nove símbolos (2.000 a.C.)
        Exemplo. Número 347
      - O Zero
        Primeiro registro conhecido de símbolo para o Zero data do século XIII d.C.
      - Para o calendário usavam um sistema sexagesimal
    - A Geometria
      - O número PI
        Estimativa inicial = 3
        Tsu Ch'ung-chih (430-501 d.C.) estimou 3,1415927 'por excesso' e 3,1415926 'por falta'
      - O Teorema de Pitágoras era conhecido pelos Chineses
    - Operações
      - As operações elementares eram feitas utilizando tabuleiros de contas com espaços em branco para o zero.
- Os Hindus
  - A Civilização
    - Localizada entre os rios Indo e Ganges
    - A religião era o centro da vida na Índia e dela derivaram:
      - A Astronomia, derivada da astrologia, era utilizada no culto aos corpos celestes
        Os Siddanthas de 425 a.c. são os primeiros estudos astronômicos conhecidos. Foram baseados em conhecimentos dos Gregos.
        Varahamihira mostra influência Grega
      - A Gramática e a Filosofia eram necessárias para que as preces fossem textualmente corretas.
      - A Matemática que era útilizada para a construção de templos e confecção dos calendários religiosos.
  - A Matemática
    - Aritmética e Álgebra
      - Soluções inteiras da equação linear Diofantina (a*x+b*y=C) - Brahmagupta.
        Essa solução representa um avanço na busca de soluções de problemas que interessam somente à Matemática (provável influência Grega).
      - Primeiro registro na história de que o quociente de um número diferente de zero e zero é infinito (Bhaskara em Vija-Ganita)
      - Progressões Aritméticas e Geométricas (Bhaskara em Vija-Ganita e Lilavati).
      - Equações Lineares e Quadráticas -Determinadas e Indeterminadas - (Bhaskara em Vija-Ganita e Lilavati).
      - Raizes
        Procedimento para cálculo da Raiz Quadrada (Sulvasutras de Apastamba e Katayana).
        Instruções para calcular a Raiz Quadrada e Raiz Cúbica de números inteiros (Aryabhatiya).
        Raiz Quadrada de 2 aproximada (Sulvasutras de Baudahayana, Apastamba e Katayana).
      - Os resultados obtidos pelos Hindus na Álgebra são mais desenvolvidos do que os dos Gregos
    - Geometria
      - Regras para a construção de ângulos retos utilizando tríades Pitagóricas (Sulvasutra de Apastamba).
        O conhecimento sobre Triades Pitagóricas sugere a provável influência da Matemática da Mesopotâmia sobre a Matemática dos Hindus.
      - Valor de PI entre 3,0044 e 3,0088 obtido após estudos sobre a quadratura do círculo. (Sulvasutras de Baudahayana, Apastamba e Katayana).
        O valor de PI = 3,1416 no Aryabhatiya demonstra uma provável influência Grega.
      - Relações entre a diagonal e os lados de um quadrado - conhecimento básico do Teorema de Pitágoras. (Sulvasutras de Baudahayana, Apastamba e Katayana).
      - Cálculo da área do triângulo, do círculo e do trapézio (Aryabhatiya).
      - Trigonometria Esférica (Aryabhatiya).
      - Generalização da fórmula de Heron para a área de um quadrilátero qualquer (Brahmagupta).
      - Os Hindus tinham pouco interesse pela dedução na Geometria
    - O Sistema de Numeração
      - Registros de 300 a.C. mostram que era utilizado na Índia um sistema decimal não posicional (Brahmi). que não possuía um símbolo para o Zero.
      - A grande contribuição dos Hindus para a Matemática foi a criação do Sistema de Numeração Decimal cujo pleno desenvolvimento foi finalizado entre os séculos IV d.C. e VII d.C. quando passou a ser usado um sistema Posicional, Decimal (com 10 símbolos) e contendo um símbolo para o Zero que marca a posíção vazia e a variação do valor de um algarismo em função de sua posição no numeral.
      - Indicação precisa do Sistema de Numeração Decimal no livro Aryabhatiya.
    - Textos Matemáticos Hindus
      - Os conhecimentos matemáticos dos Hindus entre 1.750 a.C. e 1.000 d.C. estão reunidos nos Sulvasutras que eram regras e métodos para construção de altares. Os Sulvasutras eram apêndices do Livro Sagrado Hindu. E os principais Sulvasutras foram:
        Baudahayana (800 a.C. a 600 a.C.)
        Apastamba
        Katayana
      - Textos exclusivos sobre Matemática (primeiros séculos da era Cristã)
        Brahmagupta
        Sucessor de Aryabhata que, provavelmente, também foi influênciado pelos Gregos (Trabalhou com a fórmula de Heron e com a equação linear Diofantina).
        Aryabhata
        Tratado - Aryabhatiya (499 d.C.)
        A utilização de miríade (10.000) como número de unidades do raio é um indício da influência Grega em Aryabhata.
        Bhaskara (1140-c.1185)
        Vija-Ganita
        Tratado Lilavati
As civilizações da América Central
- Os Maias
  - A Cultura e Civilização
    - Localizados nos atuais México, Guatemala e Honduras
    - Períodos
      - Pré Clássico (1.500 a.C. a 250 d.C.)
        Praticavam a agricultura, usavam pedras para moer e usavam o calendário.
      - Clássico (250 d.C a 900 d.C.)
        Arquitetura
        Astronomia
        Estimaram o movimento do Sol, Lua e Venus com precisão.
        Matemática
  - A Matemática
    - Cálculo do Tempo e calendário. Menor unidade de tempo era o dia solar. Imaginavam o tempo como infinito.
    - Conheciam os números inteiros
    - Sistema de numeração
      - Sistema posicional de base 20
        Composto de 3 símbolos (1, 5 e 0) - Aditivo até o número 19.
        Possuiam o símbolo para o 0.
        Usado nas transações cívis e comerciais.
        Sistema posicional criado 5 ou 6 séculos antes dos Hindus.
      - Sistema usando hieroglifos utilizado pelos astrônomos e sacerdotes.
- Os Zapotecas
  - A Cultura e Civilização
    - Localizada no monte Alban em Oaxaca - México
    - Cerca de 800 a.C.
    - Possuiam escrita (Glifos)
  - A Matemática
    - Calendário para 52 anos com um período de 365 dias para o ano solar sendo esse o primeiro calendário que se tem registro na meso-América. Os Zapotecas registraram que o ano de 365 dias não é exato.
As Civilizações da América do Sul
- Os Incas
  - A Cultura e Civilização
    - Localizados no Sul da Colômbia, Peru e norte do Chile.
    - Não existe registro que usavam sistema de escrita
    - Dominavam as técnicas de:
      - Pavimentação de estradas
      - Correios
      - Fundição
      - Agricultura
      - Mumificação
  - A Matemática
    - Utilizavam um sistema de contagem usando cordões chamado Quipu
      - O Quipu servia apenas para contagem e não era utilizado como ábaco.
      - A ausência de nós no Quipu significava o Zero.