Conceptos de vectores

Conceptos de vectores

1. Propiedades de los vectores

   • Un vector tiene tres características esenciales: módulo, dirección y sentido. Para que dos vectores sean considerados iguales, deben tener igual módulo, igual dirección e igual sentido. Los vectores se representan goemétricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda a derecha como se muestra en la figura.
     • Módulo: está representado por el tamaño del vector, y hace referencia a la intensidad de la magnitud ( número). Se denota con la letra solamente A o |A| • Vectores de igual módulo. Todos podrían representar, por ejemplo, una velocidad de 15 km/h, pero en distintas direcciones, por lo tanto todos tendrían distinta velocidad. • Vectores de distinto módulo. Se espera que el vector de menor tamaño represente por ejemplo una velocidad menor que la de los demás. • Vectores de distinto módulo: Así, los vectores de la figura podrían representar velocidades de 20 km/h, 5 km/h y 15 km/h, respectivamente.
     • Dirección: corresponde a la inclinación de la recta, y representa al ángulo entre ella y un eje horizontal imaginario ( ver figura 2) . También se pueden utilizar los ejes de coordenadas cartesianas (x, y y z) como también los puntos cardinales para la dirección. • Vectores de distinto módulo: Dos vectores tienen la misma dirección cuando la inclinación de la recta que los representa es la misma, es decir, cuando son paralelos. • Vectores de igual dirección: Sin importar hacia dónde apuntan o cuál es su tamaño, los vectores de la figura son paralelos, por lo que tienen la misma dirección.
     • Sentido: está indicado por la punta de la flecha. (signo positivo que por lo general no se coloca, o un signo negativo). No corresponde comparar el sentido de dos vectores que no tienen la misma dirección, de modo que se habla solamente de vectores con el mismo sentido o con sentido opuesto.

2. Operaciones basicas con vectores

   • Las operaciones matemáticas que pueden aplicarse a las coordenadas de los vectores son la suma, resta y multiplicación por un escalar. En otras palabras, las operaciones matemáticas que pueden hacerse a las coordenadas de los vectores son la suma, la resta y la multiplicación por un número.
     • Suma de vectores Para sumar dos o más vectores, tendremos que sumar las coordenadas de forma que coincida el eje para cada coordenada de los vectores. La primera coordenada corresponde al eje X y la segunda coordenada corresponde al eje Y. Entonces tendremos que operar las coordenadas que coincidan en eje. Esquemáticamente: • Las coordenadas vinculadas al eje X para los siguientes vectores son la coordenada “a” para el vector v y la coordenada “c” para el vector x. • Las coordenadas vinculadas al eje Y para los siguientes vectores son la coordenada “b” para el vector v y la coordenada “d” para el vector x. Suma de vectores La suma de los vectores será la suma de sus coordenadas respetando el eje al que pertenecen. Podemos ver como la primera coordenada del vector suma es la suma de las primeras coordenadas de los vectores (a y c). La segunda coordenada del vector suma es la suma de las segundas coordenadas de los vectores (b y d).
     • Resta de vectores Para restar dos o más vectores, tendremos que restar las coordenadas de forma que coincida el eje de cada coordenada de los vectores. La primera coordenada corresponde al eje X y la segunda coordenada corresponde al eje Y. Entonces tendremos que operar las coordenadas que coincidan en eje. Esquemáticamente: • Las coordenadas vinculadas al eje X para los siguientes vectores son la coordenada “a” para el vector v y la coordenada “c” para el vector x. • Las coordenadas vinculadas al eje Y para los siguientes vectores son la coordenada “b” para el vector v y la coordenada “d” para el vector x. Resta de vectores La resta de los vectores será la resta de sus coordenadas respetando el eje al que pertenecen. Podemos ver como la primera coordenada del vector resta es la resta de las primeras coordenadas de los vectores (a y c). La segunda coordenada del vector resta es la resta de las segundas coordenadas de los vectores (b y d).
     • Multiplicación por un escalar La multiplicación de un vector por un número (escalar) se completa haciendo el producto de dicho número por las coordenadas del vector. El nuevo vector será la multiplicación del vector por el escalar o también puede definirse como un vector nuevo.

3. Vectores canonicos

   • Los vectores canónicos son los vectores paralelos a los ejes coordenados, de módulo 1 Se utilizan símbolos prácticamente universales. Para el espacio de dimensión tres estos vectores son (i, j, k) La terna de vectores canónicos es i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) Esta terna suele llamarse también base canónica.

4. Producto punto

   • El producto punto o producto escalar de dos vectores es una operación que da como resultado un número real. Hay distintas formas de definir esta operación, una de ellas es por medio de multiplicar el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman.

5. Producto cruz

   • Sean dos vectores A y B en el espacio vectorial R³ . El producto vectorial entre ellos da como resultado un nuevo vector C. El producto vectorial se denota mediante A x B, por ello se lo llama también producto cruz.donde n es un vector unitario y ortogonal a los vectores A y B y su dirección está dada por la regla de la mano derecha. Regla de la mano derecha: Empuñe la mano y estire el dedo pulgar. Oriente los dedos empuñados en dirección del ángulo desde A hasta B), entonces el pulgar indica la dirección y sentido de 