01. Evolução do Pensamento Matemático

01. Evolução do Pensamento Matemático

1. 1. Resolução de Problemas

   • Dica de livro: "A didática da resolução de problemas de matemática" Luis Roberto Dante "A arte de resolver problemas" G. Polya
   • Categorias de Problemas Thomas Butts
     • Ex. de Reconhecimento
     • Ex. Algorítmicos
     • Problemas de aplicação
     • Prob. em aberto
     • Situações problema
   • Etapas da resolução
     • 1. compreender o problema; 2. elaborar um plano; 3. executar o plano; 4. fazer a verificação ou o retrospecto.

2. 2. A construção do conceito de número

   • Livro: A Criança e o Número. Constance Kamii
   • Classificação
     • Juntar por semelhanças; Separar por diferenças.
     • Pertinência
       • Relação entre o elemento e a classe. Semelhança. "Pertencer."
     • Inclusão
       • Relação entre cada subclasse e a classe da qual é uma parte, de tal forma que se pode verificar que a classe tem mais elementos que a subclasse.  Na inclusão hierárquica, compreende-se que inclui “um” em “dois”, “dois” em “três” e assim por diante. Outro exemplo de inclusão é que rosas e jasmins incluem-se na classe de flores.
   • Seriação - Ordenação
     • Ordenar diferenças; Estabelecer relações entre  elementos que diferem em certos pontos.
     • Transitividade
       • Se um veículo A é mais antigo que B, e B é mais antigo que C, então A é mais antigo que C.
     • Reciprocidade
       • Se A é um automóvel mais antigo do que o automóvel B, então B é um automóvel mais moderno que o A.
   • Correspondência – equivalência numérica
     • Cardinalidade
       • Quantidade de elementos de um grupo
     • Ordinalidade:
       • Posição hierárquica dentro do grupo

3. 3. Conhecimento lógico-matemático

   • Piaget distingue três tipos de conhecimentos para que se compreenda melhor o conhecimento lógico-matemático.
   • Livro: Blocos Lógicos. Ursula Marianne Simons
   • Conhecimento físico
     • Objetos do mundo exterior. Cor, tamanho, etc.
   • Conhecimento social
     • Natal - Convenções estabelecidas socialmente.
   • Conhecimento lógico-matemático
     • Relações criadas pelo sujeito. Fonte interna ao indivíduo.
     • Assimilação
       • Esquemas internos são aplicados sobre o objeto. Objeto é conhecido.
     • Acomodação.
       • Modificação dos esquemas internos como resultado de uma experiência ativa com os objetos, levando em conta qualidades particulares destes.
     • Equilibração
       • Processo de assimilação e acomodação
   • Abstração
     • Abstração empírica
       • Na abstração empírica, a criança se concentra numa certa propriedade do objeto e ignora as demais.
     • Abstração reflexiva ou construtiva
       • A abstração reflexiva, diferentemente da abstração empírica, envolve a construção de uma relação entre objetos.
   • Piaget
     • Adaptação
     • Organização
     • Formação de Estrutura
     • Tendência de auto-regulação

4. 4. O desenvolvimento histórico do sistema de numeracão decimal.

   • livro: Os Números – a história de uma grande invenção Georges Ifrah
   • Contagem por agrupamento
     • Bases - Base 10
       • Indo-Arábico
         • Posicional de base 10 Oficial a partir de 1600dC
   • O aparecimento do zero
   • Correspondência biunívoca
   • Sistema Indo-Arábico
   • Sistemas posicionais e não-posicionais

5. 5. Discussão de processos e desenvolvimento histórico de algoritmos de algumas operações fundamentais.

   • Livro: História Universal dos Algarismos volume 2.
   • Piaget
     • Paralelismo entre a humanidade e a criança
   • Romanos
     • Tábua de cálculos; Ábacos
   • Valor posicional

6. 6. Ideias das quatro operações fundamentais

   • Livro: Materiais Didáticos para as Quatro Operações. Virginia C. Cardoso
   • Ideias da adição
     • Juntar vs acrescentar
   • Ideias da subtração
     • Idéias de tirar, comparar e completar
     • Método da compensação na subtração
     • Algoritmo de completar
     • Recurso à ordem superior - Ideia de tirar
   • Processo curto da divisão
     • Repartir e medir.
   • Ideias da multiplicação
     • Soma de parcelas iguais vs Combinatória

7. 7. Compreensão dos números racionais: frações

   • Frações e números decimais
   • Parte-todo:
   • Quociente:
   • Razão:
   • Ciclos posteriores: Operador.
   • Operações com frações
     • Soma (MMC)
     • Multiplicação
     • Divisão
   • O conceito de frações aplicado a todos contínuos
     • Recortar papel em metade, quarto, oitavo, terço, etc.
   • O conceito de frações aplicado a todos discretos
   • Alguns obstáculos
     • Número de algarismos não indica número maior; Ordem dos números não quer dizer que esteja um entre outros dois.

8. 8. Os decimais

   • Soma e subtração
     • Vírgula embaixo de vírgula
   • Multiplicação
     • Multiplica normal e depois conta quantos números depois da vírgula
   • Divisão
     • "Tira" a vírgula multiplicando por 10, 100, etc.

9. 9. A construção do pensamento geométrico

   • Livro Os Poliedros de Platão e os Dedos da Mão. Autor: Nilson José Machado.
   • A Geometria na escola
     • Tangram
     • Raciocínio geométrico
       • Níveis: Visual; Descritivo/analítico; Dedução informal; Dedução formal; Rigor.
       • Fases de aprendizagem: interrogação; orientação dirigida; explicação; orientação livre; integração.
       • Contribuições de Piaget
         • Fases
   • As diferentes geometrias
     • Euclidiana
       • A Geometria Euclidiana se refere às transformações que somente mudam a posição do objeto; assim, seu tamanho, distâncias e direções se conservam.
     • Projetiva
       • A Geometria Projetiva, conhecida como Geometria das Sombras, trabalha com as propriedades espaciais que se conservam ao projetar um objeto, ou quando observado em diferentes posições.
     • Topológica
       • Na Geometria Topológica, também chamada Geometria da Lâmina, as figuras são submetidas a transformações violentas, que as levam a perder suas propriedades métricas e projetivas, com a condição de que não se produzam cortes. Ex. Balão inflado.

10. 10. Sentido das medidas

    • Medir é comparar grandezas de mesma espécie.
      • Inferência transitiva
        • x = y = z
      • Compreensão de unidades
    • Grandezas mensuráveis e não-mensuráveis
      • Quando é possível definir a soma de dois valores de uma mesma grandeza, essa grandeza é dita mensurável.
      • As grandezas não-mensuráveis são apenas marcáveis. Como exemplo, pode- -se citar a temperatura e o tempo.
    • As medidas nas primeiras séries do Ensino Fundamental

11. 11. Área e perímetro

    • O Ensino de Geometria na Escola Fundamental: três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. Autoras: Maria da Conceição F. R. Fonseca, Maria da Penha Lopes, Maria das Graças Gomes Barbosa, Maria Laura Magalhães Gomes, Mônica Maria Machado S. S. Dayrell
    • Propriedades da área
      • Positividade
      • Aditividade
      • Invariância por isometrias
    • diferenças entre área e perímetro
      • Topológico:
      • Dimensional:
      • Computacional:
      • Variacional:
    • Áreas
      • Área do quadrado
      • Área do retângulo
      • Área do triângulo

12. 12. O pensamento algébrico

    • Histórico
      • fase retórica ou verbal
      • sincopada
      • simbólica
    • Concepções da Álgebra
      • como Aritmética generalizada
        • 5 + 2 = 2 + 5 como a + b = b + a
      • como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas
        • 5x + 3 = 40 isolar o x
      • como estudo de relações entre grandezas;
        • A = b . h
      • como estudo das estruturas.
        • manipulação de variáveis como símbolos arbitrários fatoração de um polinômio
    • A Álgebra nas séries iniciais do Ensino Fundamental
      • pré-álgebra
        • observar e comparar padrões geométricos e numéricos; observar e expressar regularidades; desenvolver uma linguagem que permita se expressar matematicamente.
    • Atividades que colaboram no desenvolvimento do pensamento algébrico
      • Sequência de desenhos
      • Sequência de números
      • Sequência geométrica

13. 13. Conceitos fundamentais da proporcionalidade

    • Razão e Proporção
      • Numa proporção, o produto (resultado da multiplicação) dos meios é igual ao produto dos extremos
    • Grandezas diretamente proporcionais
    • Grandezas inversamente proporcionais
    • A proporcionalidade nas séries iniciais
    • estratégias
      • Estratégia escalar
        • a solução é encontrada a partir da análise das relações numéricas no interior de uma mesma variável
      • Estratégia funcional
        • enfoca as relações entre as duas variáveis e consiste em encontrar a razão que liga as duas variáveis e em utilizá-la na resolução do problema.
      • Estratégia da regra de três

14. 14. Introdução à Estatística

    • Pontos importantes na escola
      • análise de dados
      • probabilidade
      • exploração estatística em situações do mundo real
      • Aluno deve ser capaz
        • reconhecer, organizar e descrever dados;
        • construir, ler e interpretar dados representados de maneira organizada
        • formular e resolver problemas que impliquem coleta e análise de dados
        • explorar o conceito de casualidade
        • reconhecer, organizar e analisar dados de forma sistematizada
        • elaborar, ler e interpretar tabelas e outras representações gráficas
        • formular inferências e argumentos convincentes que se baseiem nas análises desses dados;
        • avaliar argumentos baseados em análise de dados
        • apreciar os métodos estatísticos como meios eficientes para a tomada de decisões.
    • fases
      • coleta de dados;
      • crítica desses dados
      • exposição ou apresentação dos dados
      • análise de resultados
    • gráfico
      • diagrama,
      • cartograma
      • pictograma.

15. 15. Avaliação em Matemática

    • Ler o livro: Avaliação - uma prática em busca de novos sentidos. Autora: Maria Teresa Esteban. Coleção: O Sentido da Escola.
    • Como deve ser
      • prognóstica,
      • formativa
      • cumulativa.
    • definir avaliação
      • verificar a presença de qualquer coisa que espera, competência, conhecimento;
      • situar um indivíduo, uma produção, em relação a um alvo
      • julgar o valor de algo
    • Função
      • inventário dos conhecimentos
      • diagnóstico
      • prognóstico
      • certificar
      • regular
      • orientar
    • Para preparação de uma avaliação
      • pôr a avaliação a serviço da regulação da ação pedagógica
      • dar ao aluno elementos de análise e compreensão da sua situação,
      • o avaliador se esforça para determinar e propor alvos claros;
      • a avaliação está a serviço da regulação, mas não se confunde com ela.
      • fazer tentativas de realizações das práticas,
    • instrumentos
      • meios de retenção e informações;
      • instrumentos de trabalho ou de ajuda ao trabalho do aluno;
      • instrumentos de comunicação social dos resultados da avaliação
    • erro em quatro patamares
      • Erros de saber
      • Erros de saber-fazer
      • Erros ligados à utilização adequada ou não dos saberes ou do saber-fazer
      • Erros de lógica ou de raciocínio
    • Tipos
      • Prognóstica
      • Formativa
      • Avaliativa

16. 16. Aprender sem medo: o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende

    • O domínio afetivo
      • crenças, as atitudes e as emoções.
      • As crenças
        • Racionalidade Subjetividade
      • As atitudes
        • A atitude constitui-se de três componentes:  um cognitivo, que se manifesta nas crenças implícitas; um afetivo, que se manifesta na aceitação ou repúdio das tarefas propostas ou da matéria; um intencional, que representa a tendência a um certo tipo de comportamento.
      • Emoções
    • O papel do professor e suas atitudes: aspectos inconscientes
    • As emoções
      • As emoções são respostas organizadas, além da fronteira dos sistemas psicológicos, incluindo o fisiológico, o cognitivo, o motivacional e o sistema experimental.
    • O significado do afeto
    • Desenvolver a dimensão afetiva
      • fatores afetivos e crenças sobre a natureza da Matemática; Matemática e cultura – a Matemática como conhecimento cultural; a influência na história pessoal, nas atitudes e considerações; interação entre cognição e afeto; o autoconceito do aluno como aprendiz de Matemática.
    • Mapa de humor de problemas
    • domínio cognitivo

17. 17. A linguagem matemática e os (des)encontros com a linguagem cotidiana

    • Ler o livro: DIAS, Maria da Graça; SPINILLO, Alina G (Orgs.). Tópicos em Psicologia Cognitiva. Recife: Editora Universitária da UFPE, 2005, p. 337.
    • O problema da agência de viagens – linguagem natural versus linguagem matemática
    • Os desencontros da linguagem matemática
      • Linguagem do dia-a-dia difere dos termos técnicos da matemática
    • Questões para refletir sobre a linguagem matemática

18. 18. Os problemas da solução:dificuldades com a metodologia da “resolução de problemas”.

    • As crianças estão realmente aptas a explorar problemas e chegar a soluções sensívei
    • Como os professores podem aprender a lecionar por meio da resolução de problemas?
    • Em que os estudantes acreditam quando buscam a resolução de problemas?
    • Se a metodologia da resolução de problemas é adotada, os estudantes perdem habilidades básicas e essenciais?

19. 19. A Geometria Plana e a Geometria Espacial: o que vemos e o que vivemos

    • Os problemas que encontramos hoje: dificuldades dos alunos e dos professores
    • Possibilidades metodológicas e pedagógicas

20. 20. Por que (–1) x (–1) = 1?: operações com os números inteiros

    • Operações com os números relativos: soma e subtração (regras de sinais)
    • Por que (–1) x (–1) = 1?