Ortogonalidade e a notação de Dirac

Ortogonalidade e a notação de Dirac

1. Como em qualquer sistema quântico, as funções de onda da partícula na caixa são ortogonais, ou seja n *n’d = 0 para quaisquer n e n’ diferentes.

   • Notação
     • A reunião de um bra com um ket significa a integração do produto das funções em todo o espaço
   • Condição de ortogonalidade: Se as funções de onda são normalizadas, As duas condições podem ser expressas conjuntamente através da equação onde nn é o delta de Kronecker, igual a 1 quando n = n e zero quando n  n. Conjuntos de funções que são normalizadas e mutuamente ortogonais são chamadas de ortonormais.

2. Movimento em duas ou mais dimensões

   • Partícula em superfície retangular de comprimento L1 na direção x e L2 na direção y. V(x,y) = 0 dentro da caixa e  além das paredes
     • Equação de Schrödinger: para cada dimensão de movimento deve haver um operador de energia cinética.
       • Suponhamos que a função de onda possa ser expressa como um produto de funções, cada qual função apenas de x ou y:
         • Precisamos das derivadas parciais de  na equação de Schrödinger:
           • Para um dado valor de x, valor do primeiro termo à esquerda assume um valor constante, assim como o segundo termo em relação a um valor de y. Mas como os dois termos são independentes, a sua soma só pode resultar constante se os dois termos forem constantes.
       • Equação de Schrödinger foi separada em duas equações diferenciais ordinárias. Energia do sistema: E = EX + EY . Como cada equação tem a forma da equação para a partícula na caixa unidimensional, podemos adaptar os resultados já conhecidos

3. Degenerescência

   • Funções são diferentes mas degeneradas, ou seja, correspondem à mesma energia.
     • Em uma caixa cúbica, estados ∣1,1,2〉, ∣1,2,1〉 e ∣2,1,1〉 são degenerados  nível de energia 6(h 2 /8mL2 ) é triplamente degenerado.
       • Estados degenerados estão relacionados por simetria. Os estados ∣1,2〉 e ∣2,1〉, por exemplo, podem ser interconvertidos por uma rotação de 90º:

4. Tunelamento

   • Se energia potencial das paredes não é infinita, partícula pode existir dentro das paredes e até atravessá-las mesmo que E < Vparede  Tunelamento.
     • Quatro equações com seis coeficientes.Se não há partícula movendo-se para a esquerda fora da barreira, B’ = 0. A razão entre as probabilidades da partícula estar se deslocando para a direita depois da barreira (∣A’∣ 2 ) e antes da barreira (∣A∣ 2 ) é a probabilidade de transmissão T
       • T diminui exponencialmente com L e m1/2 (efeito é muito importante para elétrons, mas não tanto para prótons)
   • Tunelamento de elétrons determina velocidade de transferência de elétrons em eletrodos e em sistemas biológicos.
   • Reações de transferência de prótons entre ácidos e bases têm equilíbrio muito rápido devido ao tunelamento