Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub
espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio
i) Si x € H y y € H, entonces x
+ y € H.
ii) Si x € H, entonces αx € H para
todo escalar α.
Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De
lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de
la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar
definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los
vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y
multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.
Este teorema demuestra que para probar si H es o no es
un sub espacio de V, es suficiente verificar que:
x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α
es un escalar.
Propiedades de sub espacios vectoriales
1). El vector cero de V está en
H.2
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto
es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H.
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y
cada escalar c, el vector cu está en H.
Definición de subespacio vectorial
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial
bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es
un sub espacio de V. Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se
demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en
realidad sub espacio de V