ESPACIO VECTORIAL Y SUBESPACIO VECTORIAL

ESPACIO VECTORIAL Y SUBESPACIO VECTORIAL

1. SUBESPACIO VECTORIAL

   • Definición
     • Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
     • Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H. ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
   • Propiedades
     • El vector cero de V está en H.2
     • H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H.
     • H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

2. ESPACIO VECTORIAL

   • Propiedades
     • Propiedades de la suma de vectores
       • Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w) • • E •
       • Conmutativa: v+u=u+v.
       • xiste un elemento neutro, el vector 0 , tal que + v = v para cualquier vector v. K 0 K
       • Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 .
     • Propiedades del producto de un vector por un escalar.
       • Asociativa: β (α v) = ( β α ) v
       • Distributivas
         • Respecto de la suma de escalares: (α + β ) v = α v + β v
         • Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v
       • Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.
   • Definición
     • La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.