Análise Combinatória

Análise Combinatória

1. Princípio fundamental da contagem

   • “quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
   • Exemplo - Podemos pensar na combinação de roupas de uma garota, sendo que ela possui 3 tipos de calças, 4 tipos de blusas, 2 tipos de sapatos e 3 tipos de bolsas. Logo, para saber quais as diferentes possibilidades que a garota possui basta multiplicar o número de peças: 3 x 4 x 2 x 3 = 72.

2. Fatorial

   • é calculado pela multiplicação de um número por todos os seus antecessores, até chegar ao número 1
   • OBS.::0! = 1
   • n! = n.(n-1).(n-2)...2.1
   • Exemplos
     • 3! = 3.2.1=6
     • 5! = 5.4.3.2.1 = 120
   • Operações com Fatorial
     • Adição - Ex: 3!+2!
       • 3!+2!= (3.2.1) + (2.1)= 6+2=8
     • Subtração - Ex 5!-3!
       • 5! - 3!= (5.4.3.2.1)-(3.2.1) 120 - 6 = 114
     • Multiplicação - Ex 0!*6!
       • 0!*6!= 1.(6.5.4.3.2.1)= 1.720 = 720
     • Divisão - Ex 10!/7!
       • 10! / 7! = (10.9.8.7!)/7!= 10.9.8 = 720

3. Permutação simples

   • São agrupamentos de n elementos distintos
     • Cada permutação a ser obtida é uma ação composta de n etapas: 1ª etapa: existem n possibilidades. 2ª etapa: existem n - 1 possibiidades. 3ª etapa: n - 2 possibilidades. n-ésima etapa: existe apenas uma possibilidade. Então, pelo princípio fundamental da Contagem, o número de permutações possíveis é: n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) ...  . 1 = n! Pn = n!
   • Exemplo -Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO? Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples. P = 4! = 4.3.2.1 =24

4. Permutação com repetição

   • São agrupamentos de n elementos com k repetições
   • Exemplo - De qauntas maneiras podemos empilhar 7 livros, sabendo que há 3 livros exatamtes iguais? P3,7 = 7! / 3! = (7.6.5.4.3!) / 3! = 7.6.5.4 = 840 maneiras

5. Arranjo

   • Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão: Ap,n = n! / (n-p)!
   • O agrupamento depende da ordem e da natureza dos elementos
   • Exemplo: podemos pensar nas eleições, de modo que 20 deputados concorrem a 2 vagas no estado de São Paulo. Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem é importante, visto que altera o resultado final. A = (20!)/(20-2)! = 20! / 18! = (20.19.18!)/18! = 380

6. Combinação

   • A ordem dos elementos não importa, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos elementos
     • Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão: cp,n = n! / p! * (n-p)!
   • Exemplo - podemos pensar na escolha de 3 membros para formar a comissão organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram. Para tanto, Maria, João e José são os escolhidos. De quantas maneiras distintas esse grupo pode se combinar? Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer dizer que a combinação Maria, João e José é equivalente à João, José e Maria. C10,3 = 10!/(3!*7!) = (10.9.8.7!)/(3.2.1.7!) = 720/6 = 120