Axiomas (suma y multiplicación) de los espacios vectoriales

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Axiomas (suma y multiplicación) de los espacios vectoriales
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Axiomas (suma y multiplicación) de los espacios vectoriales
1 Antes que el concepto de espacio vectorial est´a el concepto de operaci´on. Veamos algunos ejemplos de operaciones para ir entendiendo que las operaciones de suma o de multiplicaci´on por escalares podrıan ser diferentes de las que conocemos. Lo que es importante recordar es el uso de los par´entesis : sirven para indicar un orden en las operaciones.
1.1 Suponga que V = R2 y que se definen las operaciones: (x, y) ⊕ (z, w) = (2 x, 3 w + y) y t (x, y) = (2 t x, 3 t y) Si a = (1, 0), c1 = 1, c2 = −4 Calcule:
1.1.1 1. (c1 + c2) a = −3 (1, 0) = (2(−3)(1), 3(−3)(0)) = (−6, 0)
1.1.2 2. (c1 a) ⊕ (c2 a) = (2, 0) ⊕ (−8, 0) = (4, 0)
1.1.3 3. (c1 · c2) a = −4 (1, 0) = (−8, 0)
1.1.4 4. c1 (c2 a) = 1 (−8, 0) = (−16, 0)
2 Espacio Vectorial
2.1 Sea V un conjunto no vac´ıo sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicaci´on de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o funci´on que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representar´a como u ⊕ v. La multiplicaci´on es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas:
3 Para cualquiera dos vectores u y v en V
4 Para cualquiera dos vectores u y v en V
5 Para cualquiera tres vectores u, v y w en V
6 Ejemplos Axiomas (suma y multiplicación) de los espacios vectoriales
6.1 Ejemplo EV 1 Sea V = R+ con las operaciones: x ⊕ y = x · y y c x = x c , veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial: .
6.1.1 Axioma A1: x ⊕ y ∈ V Efectivamente, pues si x, y ∈ V entonces x, y > 0 y por tanto x ⊕ y = x · y > 0, probando que x ⊕ y ∈ V
6.1.2 Axioma A2: x ⊕ y = y ⊕ x Efectivamente, pues x ⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x. Esto se tiene por la propiedad conmutativa del producto de n´umeros reales.
6.1.3 Axioma A3: x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z Efectivamente, pues x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ (y · z) = x · (y · z) = (x · y) · z = (x · y) ⊕ z = (x ⊕ y) ⊕ z. Esto se tiene por la propiedad asociativa del producto de n´umeros reales.
6.1.4 Axioma A4: Existe en V un neutro para ⊕ Efectivamente, el n´umero 1 de V = R cumple la propiedad requerida pues 1 ⊕ x = 1 · x = x = x · 1 = x ⊕ 1.
6.1.5 Axioma A5: Todo elemento de V posee un inverso aditivo en V Efectivamente, si x ∈ V es n´umero, 1/x tambi´en est´a en V = R (Pues si x > 0, tambi´en se cumple 1/x > 0) y cumple la propiedad requerida pues x ⊕ 1
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