TEOREMAS LÍMITE EN PROBABILIDAD

TEOREMAS LÍMITE EN PROBABILIDAD

1. 1. TIPOS DE CONVERGENCIA

   • 1.1 Convergencia Casi Segura (c.s.)
     • Definición: $P(\{\omega: X_n(\omega) \to X(\omega)\}) = 1$
       • Es la más fuerte de las tres
         • Ejemplo: promedio de lanzamientos de dado converge al valor real con probabilidad 1
           • Notación: $X_n \xrightarrow{\text{c.s.}} X$
   • 1.2 Convergencia en Probabilidad
     • Definición: $P(|X_n - X| \geq \varepsilon) \to 0$ cuando $n \to \infty$
       • Menos restrictiva que c.s.
         • Ejemplo: frecuencia relativa de un evento converge a su probabilidad teórica
           • Notación: $X_n \xrightarrow{\text{prob.}} X$
             • Jerarquía: c.s. ⟹ en probabilidad ⟹ en distribución (no es reversible)
   • 1.3 Convergencia en Distribución (débil)
     • Definición: $F_n(x) \to F(x)$ en los puntos de continuidad de F.
       • La más débil de las tres
         • Ejemplo: suma estandarizada de variables converge a N(0,1)
           • Notación: $X_n \xrightarrow{\text{dist.}} X$

2. LEYES DE LOS GRANDES NÚMEROS

   • 2.1 Ley FUERTE de los Grandes Números
     • Tipo de convergencia: casi segura
       • Enunciado: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{\text{c.s.}} \mu$
         • Importancia: garantiza que el promedio muestral se acerca al verdadero valor poblacional con certeza casi total
           • Condición: variables i.i.d. con media finita μ
   • 2.2 Ley DÉBIL de los Grandes Números
     • Tipo de convergencia: en probabilidad
       • Enunciado: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{\text{prob.}} \mu$
         • Importancia: justifica el uso del promedio como estimador consistente
           • Condición: variables i.i.d. con media finita μ
   • la ley fuerte implica la débil, no al revés

3. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE (TCL)

   • 3.1 Enunciado
     • • Sean $X_1, X_2, \ldots, X_n$ variables aleatorias i.i.d. con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$ finitas.
       • • La variable estandarizada: $Z_n = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{\text{dist.}} N(0,1)$
   • 3.2 Tipo de convergencia utilizada
     • Convergencia en distribución
   • 3.3 Conexión con las LGN
     • Las LGN dicen *hacia dónde* converge el promedio (μ)
       • El TCL dice cómo se distribuye el error de esa convergencia
         • A mayor n: el promedio se estabiliza (LGN) y su distribución de error se normaliza (TCL)
   • 3.4 Importancia
     • Explica la aparición universal de la distribución normal
       • • Permite calcular probabilidades sobre el promedio muestral $\bar{X}$ sin necesidad de conocer la distribución original de los datos.
         • Aplicaciones: ingeniería, medicina, economía