Proposições

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PROPOSIÇÕES: sentenças declarativas que podem ser classificadas ou só como verdadeiras ou só como falsas.

-> Simples: oração declarativa que pode ser classificada ou só como V ou só como F. Representação: letra minúscula.

Tipos de sentenças: Declarativas. Ex: Carlos é escritor.

Imperativas: Ex: Segure firme.

Interrogativa: Quantos japoneses moram no Brasil?

Exclamativa: Parabéns!

-> Compostas: combinação de ideias simples; ligando proposições simples e formando as compostas.

CONECTIVOS LÓGICOS: ligam as proposições simples, tornando-as compostas.

Conjunções: XXX e YYY (^)

Disjunções não excludentes: XXX ou YYY (v)

Disjunções excludentes: ou XXX ou YYY (V)

Condicionais: XXX então YYY (-->)

Bicondicionais: XXX se e somente se YYY (<-->)

OBS: Para se analisar os valores lógicos das proposições compostas utiliza-se a TABELA VERDADE, a qual prevê todos os possíveis valores lógicos que uma sentença pode possuir, a partir dos valores lógicos das proposições simples.

TABELA VERDADE: O número de linhas da tabela verdade é definido pela fórmula 2^n, n = número de proposições sendo analisadas.

Ex: Analisando uma proposição composta de duas preposições simples (p e q), tem-se uma tabela verdade de 4 linhas. Se for 8 preposições simples, 256 linhas.

NEGAÇÃO: uma preposição quando negada, recebe valor lógico oposto ao valor lógico da preposição original. Símbolo: ¬p

Ex: p ¬p

V F

F V

VALORES LÓGICOS DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS:

Conectivo: Conjunções (e)

Uma proposição composta do tipo p ^ q só é verdadeira se p for verdadeira e também for verdadeiro. Em todos os outros casos, a proposição é falsa.

Ex:

Paris não se situa na África e a África tem uma população predominante negra. (VERDADEIRO)

Ex 2:

Paris situa-se na África e a África tem uma população predominante negra (FALSO)

Conectivo: Disjunção não excludente (ou)

Uma proposição composta do tipo p v q é verdadeira quando pelo menos uma das proposições simples forem verdadeiras. Só é falsa quando ambas são falsas.

Ex:

Paris não se situa na África ou a África não uma população predominante negra. (VERDADEIRO)

Paris situa-se na África ou a África não tem uma população predominante negra. (FALSO)

Conectivo: Disjunção excludente (ou)

A proposição é verdadeira quando apenas uma das simples forem verdadeiras, quando ambas são falsas e verdadeiras a proposição é falsa.

Ex:

Ou Sérgio mora em Curitiba ou mora em Fortaleza.

Conectivo: Condicional (se X, então Y).

Temos p --> q

p é condição suficiente para q. Ou ainda p é chamado de causa.

q é condição necessária para p. Ou ainda q é chamado de conseqüência ou efeit.

O condicional p→q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, p → q será verdadeiro.

Ex: Imaginemos que você seja uma pessoa que normalmente carrega seu guarda chuva na sua bolsa ou mala ou de qualquer outra forma. Suponha, também, que está chovendo é uma frase verdadeira e que levar o guarda chuva também será verdadeira.

Se não está chovendo então eu levo o guarda chuva. (Causa falsa, efeito verdadeiro = VERDADEIRO)

Se não está chovendo então eu não levo o guarda chuva. (Causa falsa, efeito falso = VERDADEIRO).

Se está chovendo então eu não levo o guarda chuva. (Causa verdadeira, efeito falso = FALSO).

* Propriedades da condicional:

Proposições inversas: para encontrar a inversa de uma proposição composta basta negar as duas frases. Ex:

p→q sua inversa é ¬p→ ¬q

x→¬y sua inversa é ¬x→ y

Proposições recíprocas: para encontrar a recíproca, inverte as frases.

p→q sua recíproca é q→p

x→¬y sua recíproca é ¬y→x

Proposições contrapositivas: para encontrar a contrapositiva, basta inverter e negar as frases.

p→q sua contrapositiva é ¬q→¬p

x→¬y sua contrapositiva é y→¬x

Conectivo: bicondicional (se e somente se).

Temos p <--> q

p é condição necessária e suficiente para q. P é causa e efeito ao mesmo tempo.

q é condição necessária e suficiente para q. Q é causa e efeito ao mesmo tempo.

A bicondicional só p v q só é falsa se p e q apresentarem valores lógicos diferentes, caso contrário é verdadeiro.

Ex: 2 x 3 = 6 se e somente se 2 + 2 + 2 = 6 (VERDADEIRO)

2x3 = 6 se e somente se 2 + 2 + 2 =8 (FALSO)