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Vamos a resolver la ecuación paso a paso:

cos⁡(�)1+sin⁡(�)=sec⁡(�)−tan⁡(�)1+sin(θ)cos(θ)​=sec(θ)−tan(θ)

Comencemos por simplificar el lado derecho de la ecuación:

Recordemos que sec⁡(�)=1cos⁡(�)sec(θ)=cos(θ)1​ y tan⁡(�)=sin⁡(�)cos⁡(�)tan(θ)=cos(θ)sin(θ)​:

sec⁡(�)−tan⁡(�)=1cos⁡(�)−sin⁡(�)cos⁡(�)sec(θ)−tan(θ)=cos(θ)1​−cos(θ)sin(θ)​

Encontramos un común denominador para combinar las fracciones:

1−sin⁡(�)cos⁡(�)cos(θ)1−sin(θ)​

Ahora, igualamos este resultado al lado izquierdo de la ecuación:

cos⁡(�)1+sin⁡(�)=1−sin⁡(�)cos⁡(�)1+sin(θ)cos(θ)​=cos(θ)1−sin(θ)​

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por cos⁡(�)(1+sin⁡(�))cos(θ)(1+sin(θ)) para eliminar los denominadores:

cos⁡(�)⋅cos⁡(�)(1+sin⁡(�))=(1−sin⁡(�))⋅(1+sin⁡(�))cos(θ)⋅cos(θ)(1+sin(θ))=(1−sin(θ))⋅(1+sin(θ))

Simplificamos ambos lados:

cos⁡2(�)(1+sin⁡(�))=1−sin⁡2(�)cos2(θ)(1+sin(θ))=1−sin2(θ)

Distribuimos cos⁡2(�)cos2(θ):

cos⁡2(�)+cos⁡2(�)sin⁡(�)=1−sin⁡2(�)cos2(θ)+cos2(θ)sin(θ)=1−sin2(θ)

Usamos la identidad trigonométrica fundamental sin⁡2(�)+cos⁡2(�)=1sin2(θ)+cos2(θ)=1:

2cos⁡2(�)sin⁡(�)=1−sin⁡2(�)2cos2(θ)sin(θ)=1−sin2(θ)

Multiplicamos ambos lados por 1sin⁡(�)sin(θ)1​ para despejar sin⁡(�)sin(θ):

2cos⁡2(�)=1sin⁡(�)−sin⁡(�)2cos2(θ)=sin(θ)1​−sin(θ)

Usamos la identidad trigonométrica csc⁡(�)=1sin⁡(�)csc(θ)=sin(θ)1​:

2cos⁡2(�)=csc⁡(�)−sin⁡(�)2cos2(θ)=csc(θ)−sin(θ)

Por lo tanto, hemos demostrado que:

cos⁡(�)1+sin⁡(�)=csc⁡(�)−sin⁡(�)1+sin(θ)cos(θ)​=csc(θ)−sin(θ)

La ecuación original es verdadera, y hemos simplificado la expresión en términos de funciones trigonométricas conocidas.