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Elementos de cálculo diferencial

Límites

En un principio, este límite es el valor que toma ff en el punto x0x0, es decir, f(x0)f(x0). Si f(x0)f(x0) no existe (por ejemplo, cuando x0x0 anula el denominador de ff), entonces el límite es el valor al que ff se aproxima cuando xx se aproxima a x0x0.

f(x)=1/x2

Para determinar el límite de y = f(x) en cierto punto x = a , debemos prescindir del valor que tenga f(a), incluso puede que f(a) ni siquiera esté definido, y fijarnos en los valores de f(a) para puntos extremadamente cercanos a x = a.

En el ejemplo del gráfico, observando los valores de los puntos muy próximos a x= a, lo cual será expresado así: , se llega a la conclusión que el límite de y = f(x) "cuando x tiende al valor a" es L.

Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces:

En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende.

No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito.

La gráfica de una función

Una funci´on f(x) = y o la ecuaci´on f(x)−y = 0 posee representaci´on gr´afica en el plano coordenado. Por ejemplo, la Figura 2.3 nos da la Figura 2.2. Lemniscata: 3(x 2 + y 2 ) 2 = 100xy Figura 2.3. La curva y = 2x 3 − x ✲ ✻ ❛ −2 −1 1 2 3 4 −1 1 2 3 4 y x

la de otra funcion. Es importante señalar, sin embargo, que no toda ecuación nos ofrece una funcion, ni toda curva geometrica representa la gráfica de una función. Por ejemplo, la Figura 2.1 y la Figura 2.2 no representan funciones. Note que en las ´ultimas figuras mencionadas para casi todas las x en el eje de las abscisas se asigna dos y en el eje de las ordenadas (lo que “prohibe” la definición de funcion). De una ecuación o curva es posible en ocasiones obtener funciones. Por ejemplo, de x 2 + y 2 = r 2 (con r > 0) podemos obtener dos funciones: y 2 = r 2 − x 2 , sacando la raíz tenemos ( y = √ r 2 − x 2 y = − √ r 2 − x 2

EL VALOR ABSOLUTO Recuerde que el valor absoluto se define de la siguiente manera: |x| = � x si x ≥ 0 −x si x < 0 Lo anterior significa que si un n´umero es positivo o cero entonces es igual a su valor absoluto y si el n´umero es negativo entonces su valor absoluto es su opuesto.

CALCULO DE IíMITES

Básicamente tenemos algunos problemas: Gráficas y tablas no siempre pueden ayudar • A veces no se conoce la gráfica de una función, o es muy difícil de trazar. • Para algunas funciones en general es muy engorrosa la elaboración de la tabla utilizando únicamente una sencilla calculadora. • No siempre el valor que uno puede inferir de la tabla es el correcto.

La velocidad es una razón de cambio

La rapidez es la magnitud de la velocidad. Cuando en el lenguaje corriente decimos que la velocidad de un objeto es de 10m/seg sin especificar la direcci´on, en realidad nos estamos refiriendo a la rapidez.

CAíDA LIBRE Y CALCULO DE RECTAS TANGENTES

Uno de los asuntos más interesantes en la historia de las ciencias fue el de la caída libre de los cuerpos.

Podemos interpretar la derivada como la pendiente de la ecuación de la recta tangente de f(x) en el punto P(a,f(a)), que viene dada por la siguiente expresión: y-f(a)=f ‘(a) (x-a).

Hallar la ecuación de la recta tangente en un punto.

A partir de la función f(x) y dado un punto a en el que tenemos que calcular la recta tangente. Simplemente tenemos que calcular los datos que necesitamos para sustituir en la fórmula.