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CONCAVIDAD Y GRAFICO DE UNA FUNCION UTILIZANDO DERIVADAS

• Definición de concavidad:
• Sea f diferenciable en un intervalo abierto. Diremos que la gráfica de f es cóncava hacia arriba si f´ es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f´ es decreciente en ese intervalo.

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• Por lo que sabemos de funciones crecientes y decrecientes, si f' es creciente en un intervalo, entonces su derivada f'' es positiva en ese intervalo y si f' es decreciente entonces su derivada f'' es negativa en ese intervalo. La siguiente gráfica muestra este concepto.
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• Criterio sobre concavidad.
• Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto (a,b).
• Si f''(x)>0 para toda x en (a,b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).
• Si f''(x)<0 para toda x en (a,b) , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajoen (a,b).

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• Esta gráfica es cóncava hacia abajo.
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• Ahora observa y compara la gráfica de esta función con la gráfica de su derivada.
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• La siguiente gráfica es cóncava hacia arriba.
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• Ahora observa y compara la gráfica de esta función con la gráfica de su derivada.
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• Crecimiento y decrecimiento de una función Los términos creciente y decreciente permiten describir el comportamiento de una función cuando se la analiza de izquierda a derecha a lo largo de su gráfica. • Una función f es creciente en un intervalo si para dos valores cualquiera x1 y x2 del dominio, se verifica que: si ?1 < ?2 entonces ?(?1 ) < ?(?2) • Una función f es decreciente en un intervalo si para dos valores cualquiera x1 y x2 del dominio, se verifica que: si ?1 < ?2 entonces ?(?1 ) > ?(?2).
• Observamos la imagen de la función para saber si crece o decrece, pero anotamos valores del dominio.
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• Relación del crecimiento de la función con la derivada.
• Sabemos que ?´(?) nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (?; ?(?)). Sabíamos de rectas, si la pendiente es positiva, la función es creciente y si la pendiente es negativa la función es decreciente. Entonces una derivada positiva en todo x del intervalo analizado implica que la pendiente de la recta tangente en cada punto de ese intervalo es positiva y una derivada negativa, que la pendiente es negativa. Podemos decir que si la derivada de una función es positiva entonces la función crece, si la derivada es negativa, la función decrece.
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• Máximos y mínimos relativos (o locales) de funciones derivables
• Sea f una función definida en un intervalo (?; ?) y c un punto en (?; ?)
• •La función f(x) tiene un máximo relativo en ? = ? si ? (?)  ? (?) para todo x de un intervalo abierto (por pequeño que sea) que contiene a ?
• • La función f(x) tiene un mínimo relativo en ? = ? si ? (?)  ? (?) para todo x de un intervalo abierto (por pequeño que sea) que contiene a ? Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo.
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• Condición necesaria de extremo
• Si f tiene derivada en el punto de abscisa ? = ? y f tiene en ? un extremo relativo, entonces ? ‘ (?) = 0.
• Si no fuera cierto y por ejemplo ? ’(?) > 0 entonces f sería creciente en un entorno del punto ?, que contradice la existencia de extremo. La condición no es suficiente.
• La función ? = ? 3 es creciente en 0, entonces, no tiene extremos, sin embargo ? ’(0) = 0. Criterio práctico Hay extremo relativo en el punto si la derivada de la función en ese punto es cero (condición necesaria ? ‘(?) = 0) y en dicho punto cambia el crecimiento. Esto se conoce como criterio de la derivada primera
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