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Flashcards do conjunto (14)
- 1Incremento ∆x = x2 − x1 ∆y = y2 − y1Sea y= 4x2- 3
, obtener ∆x y ∆y si x pasa de 2 a 5.2
Solución:
x1 = 2 , x2 = 2.5
∆x = 2.5 − 2 = 0.5
y1= f(x1)=f (2) =4(2)2- 3 =16 -3 =13
y2 = f (x2) = f(2.5) =4(2.5) 2−3 =25 − 3=22
∆y = y − y
∆y = 22 −13 = 9 - 2Método de los cuatro pasos 1. A la función en x se le incrementa en ∆x : f (x + ∆x) 2. A lo obtenido, se le resta la función original, es decir f (x + ∆x)− f (x) 3. Se divide todo por ∆x :f(x+ ∆x ) -f( x)/ ∆x 4. Se toma el límite cuando ∆x tiende a cero: lim∆ →0 f(x + ∆x) - f(x)/∆ x, y si existe este límite, es su derivada.y = 5x − 3
Solución:
f (x) = 5x −3
f (x + ∆x) = 5(x + ∆x)−3
f (x + ∆x)− f (x) = 5(x + ∆x)−3− (5x −3)
= 5x + 5∆x −3−5x + 3 = 5∆x
f(x+ ∆x )- f ( x) / ∆x
=5∆x / ∆x = 5
lim∆x→0 f(x + ∆ x) - f(x)= lim ∆x→0 5= 5
∴ f'(x ) =dy/dx = 5 - 3Derivavilidad de una función : No es deriva ble 1. Si posee “picos” ya que la función no posee tangente en esos puntos y no es derivable allí debido a que al calcular 1. Si posee “picos” ya que la función no posee tangente en esos puntos y no es derivable allí debido a que al calcular f ' (x 1)se encuentra que los límites laterales son diferentes. 2. Si una función f (x) no es continua en x1 entonces no es derivable en ese punto, por lo tanto, en cualquier discontinuidad, la función deja de ser derivable. 3. Si la curva tiene una recta tangente vertical cuando x-x1 . Esto es: f (x) es continua en x,y limx→x1 lf'(x1)l= ∞ , lo que significa que las tangentes se vuelven cada vez más pronunciadas.• Si x > 0, se tiene: f'( x)= limlx+∆ xl- lxl =lim ∆x→0 x∆ + ∆ x- x / ∆ x = li m ∆x→0 ∆ x /∆ x =lim ∆x→0 1= 1
Por tanto, la función es derivable para x > 0.
• Si x < 0, se tiene:
f'( x)=lim∆x→0 lx + ∆ xl - (x)
=lim ∆x→0 -(x+ ∆ x) - (-x) /∆ x = lim ∆x→0 -∆ x /∆ x = lim ∆x→0(-1 ) =-1
Si x = 0, se tiene:
f' ( x)=lim ∆x→0 l0 + ∆ xl - l0l/∆ x
(si existe)
Se comparan los límites laterales por separado:
lim ∆x→0+ l0 + ∆xl - l0l/∆x
=lim∆x→0+ l∆xl/∆x = lim ∆x→0+ ∆x/∆x = lim ∆x→0+ 1= 1
lim ∆x→0- l0+ ∆xl −l 0 l / ∆x
=lim ∆x→0- l ∆x l / ∆x
=lim ∆x→0- -∆x / ∆x
=lim ∆x→0- (-1) = 1
lim ∆x→0+ f(0) ≠ lim ∆x→0- f(0) , no existe f '(0). Por lo tanto f (x) es derivable para toda x
excepto en x = 0. - 4Regla de la cadena d/dx (c ) = 0f(x)=c
f (x + ∆x) = c
f (x + ∆x) − f (x) = c − c = 0
f( x + ∆x) - f (x) / ∆x =0/ ∆x = 0
lim∆x→0 f( x + ∆x) - f(x) / ∆x
lim∆x→0 0 = 0
∴ f '( x) = d/dx ( c) = 0
La derivada de una constante siempre es cero. - 5Derivada de orden superior La derivada dx/dy de una función y = f (x)se conoce como primera derivada. Si ésta es a su vez una función derivable, su derivada se denomina segunda derivada de la función original f ( ) x dx d y dx dy dx d '' 2 2 = = La derivada de la segunda derivada, en caso de existir, se conoce como tercera derivada de la función: d/dx l dy / dx l = d2y / dx2 = f "(x ) dx d / dx l d2y / dx2 l = d3y / dx3 = f '''(x) la derivada enésima es: d"y / dx" = f" (x)Obtener la tercera derivada de la función
y = 2x3 − 4 x 2 − 5x − 12
dy / dx = 6 x2 - 8x - 5
d2y/ dx2= d / dx l dy / dx = 12x - 8
d3 y / dx3 = d / dx l d2 y / dx2 l = 12 - 6Derivada de funciones expresadas en forma implícita f (x,y) = 0 df( y) /dx=df(y)/dy . dy/dxEjemplo
4x2 y3 + 5x4 −2 y5 −12 =0
4 x2 3 y2 dy/dx + y3 8x + 20 x3 -10 4 dy/dx - 0 = 0
4 x2 3 y2 dy/ dx - 10 y4 dy/dx = -8 xy3 - 20 x3
dy / dx (12 x2 y2 -10 y4) = -8 xy3 - 20 x3
dy/dx = -8 xy3 - 20 x3 / 12 x2y2 - 10 y4
d
dx
d
y
dx
d
x
dx
d
x y
dx
d
+ − − =
4 3 8 20 10 0 0
2 2 3 3 4
+ + − − =
dx
dy
y x x y
dx
dy
x y
2 2 4 3 3
4 3 10 8xy 20x
dx
dy
y
dx
dy
x y − = − −
( )
2 2 4 3 3
12x y 10y 8xy 20x
dx
dy
− = − −
2 2 4
3 3
12 10
8 20
x y y
xy x
dx
d - 7Derivada parcial se tiene una función f (x, y) = 0 , se conoce como derivada parcial de f con respecto a x a la derivada de la función, sólo considerando a x como variable y lo demás como constante Se denota como: ∂f / ∂x la derivada parcial de f con respecto a y es la derivada de la función, sólo considerando a y como variable y lo demás como constante. Se denota como: ∂f / ∂yObtener
∂f/ ∂x y ∂f / ∂y
de la siguiente funciones
3 x2 + 7 x4 y2 +8 x2 y 6 − 9y5 + 6 x +2 =0 ∂f/∂x = 6 x2 + 28 x3 y2 + 16xy6 + 6
∂f / ∂x = 14 x4 + 48x2 y5 - 45 y4 - 8Funciones implícitas por una función de derivadas parciales una función implícita de la forma f (x, y), la derivada dy / dx puede obtenerse muy fácilmente a través de la aplicación de derivadas parciales, por medio de la siguiente expresión: dy / d = -df/dx / df/dy5 x 4 − 12 x3y2 + 9 y2 −10 = 0
Solución:
=-20 x3 + 36 x2 y2 / -24 x3 y + 18 y - 9Derivada de funciones expresadas en forma parametrica Dada una función expresada en forma paramétrica, de la forma: x= f ( t) y = f(t) su derivada viene dada por: dy / dx = dy/dt / dx/dtx = 4 f2 -6t + 9
y = 5 t3 - 7 t2 10 t + 2
= 8t - 6 / 15 t2 - 14 t - 10 - 10Segunda derivada de la función expresada en forma parametrica esta dada por: d2y / dx2 = d/dt ldy/dxl . dt/dxx = 4 t2 - 5t + 1
y = 2 t3 - 21
= 6 t2/ 8 t - 5
=d / dt (6 t2 / 8t - 5) . dt/dx
= (8t - 5) (12t) - (6 t2) (8) / (8t - 5)2 . 1 / 8t -5
= 96 t2 - 60 t - 48 t2 / (8t - 5)3
= 48 t2 - 60 t / (8t - 5 )3 - 11Derivada de funciones inversas Sea una función y = f (x) en el intervalo abierto (a,b) cuya derivada no cambia de signo. Si su función inversa es x = g(y), la derivada dy/dx viene dada por: dy/dx = 1 / dx/dyf (x) = 8x − 6
Obteniendo la función inversa:
x = 8y - 6 ⇒ f -1 (x) = g(x ) = x + 6/ 8
dg (x) / dx = 1/8
aplicando la formula
dy/dx = 1 / dx/dy = 1/8 - 12Derivadas de funciones trigonométricas directas d/dx (sen y) = cos x f (x + ∆x) = sen(x + ∆x) f (x + ∆x) − f (x) = sen(x + ∆x) − sen x considerando la identidad trigonométrica: sen ( a + b ) - sen a = 2 cos (a + 1/2b ) . sen 1/2 b se tiene: f ( x + ∆x) - f (x) = 2 cos (x + 1/2 ∆x) . sen 1/2 ∆x pero se sabe que: lim∆x→0 sen 1/2 ∆x / 1/2 ∆x = 1 ⇒ lim∆x→0 f(x + ∆x) - f (x) / ∆x = lim∆x→0 cos ( x + 1/2 ∆x) . 1= cos x f`(x) = d/dx (sen x) = cos xy= 6 cot ( 5 x2 - 8 x7)
dy/dx = -6 (10 x - 56 x6) csc2 ( 5 x2 - 8 x7)
= ( -60 x - 336 x6) csc2 5x2 - 8 x7 - 13Derivadas de funciones trigonométricas inversas d/dx (sen -1 x) = 1 /raiz de 1-x2y= cos -1 1/3 x
dy/dx = -1 /raiz de 1 - (1/3 x)2 (1/3)
= -1 / raiz cubica de 1 - 1/9 x2 - 14Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas d/dx ( log a x) = 1/x log a ey = log5 (sen3x4)
dy/dx = 12 x3 cos 3 x4 / sen 3 x4 log5
Informações
- Descrição
- calculo FlashCards sobre Sem título, criado por Dagoberto Corona Carrasco em 23-09-2018.
- Criado por
- Dagoberto Corona Carrasco
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