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Calculo de Derivadas

Derivada de una función constante Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que Luego la derivada de una constante es siempre cero. Derivada de la función lineal mx + b Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,

lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta. Derivada de una constante por una función, k · f(x) Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k·f(x) será: Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma

k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k. Derivada de la función potencia xm (m un número natural) Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente

Tomando límites cuando h --> 0,

4.5

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variablex; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si {\displaystyle f\,} es diferenciable en {\displaystyle x\,} y {\displaystyle g\,} es una función diferenciable en {\displaystyle f(x)\,}, entonces la función compuesta {\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))} es diferenciable en {\displaystyle x\,} y

{\displaystyle (g\circ f)'(x)={\frac {d(g\circ f)}{dx}}={\frac {d\;g(f(x))}{dx}}={\frac {d}{dx}}\;g(f(x))=g'(f(x))\cdot f'(x)}

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

mostrar

{\displaystyle {\frac {dg}{dx}}={\frac {dg}{df}}{\frac {df}{dx}}}

donde {\displaystyle {\frac {dg}{df}}} indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

4.6

Derivada de Funciones Implicitas

Para este tema la primera pregunta que debemos hacernos es ¿que es una función implícita? ya que de esto se desarrolla el tema.

A una función del tipo y(x) se le puede considerar como implícita cuando esta dada en la forma F(x, y) = 0 en lugar de su forma habitual.

Reglas de derivación implícita

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: .

Si consideramos es una función en términos de la variable independiente x y es una función en términos de la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la derivada:

4.7

Derivadas de Orden Superior

La derivada de orden superior se conoce como la segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x). Es importante tener en cuenta

4.8