Integración  Compleja

Integración

Compleja

Para definir la integral de una función compleja f se comienza definiendo f a lo largo de una curva C o contorno del plano complejo. En esta sección se plantea que la definición de una integral compleja, sus propiedades y su método de cálculo son muy similares a los de una integral real de línea en el plano

Integrales de contorno

Sea f (z) una función de variable compleja definida sobre una curva suave C dada por x = x(t) y y = y(t) para a ≤ t ≤ b. La integral de contorno de f (z) a lo largo de la curva C es

Propiedades

Teorema de Cauchy-Goursat

Esencialmente, dice que si dos trayectorias diferentes conectan los mismos dos puntos, y una función es holomorfa por todas partes entre las dos trayectorias, entonces las dos integrales de la trayectoria de la función serán iguales.

Independencia de la trayectoria

Aunque no se demuestra aquí, puede probarse que el teorema de Cauchy-Goursat es válido para cualquier contorno cerrado C en un dominio simplemente conexo D.

Sean z0 y z1 puntos de un dominio D. Se dice que una integral de contorno ∫C f (z) dz es independiente de la trayectoria si su valor es el mismo para cualquier contorno C en D con un punto inicial z0 y un punto terminal z1

Fórmulas integrales de Cauchy

Sea f una función analítica en un dominio simplemente conexo D, y sea C un contorno cerrado simple que se localiza completamente en D. Si z0 es cualquier punto dentro de C, entonces

Fórmula integral de Cauchy para derivadas

Sea f una función analítica en un dominio simplemente conexo D, y C un contorno cerrado simple comprendido enteramente dentro de D. Si z0 es cualquier punto interior a C, entonces

Teorema de Liouville

Las únicas funciones enteras y acotadas son las constantes.