MATEMATICAS

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Reconocer las características de las parábolas

Comprender cómo se relacionan los gráficos de las parábolas con sus funciones cuadráticas

Objetivos de aprendizaje

Reconocer las características de las parábolas.

Comprender cómo se relaciona el gráfico de una parábola con su función cuadrática.

Determinar el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.

Resolver problemas que impliquen el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.

El gráfico de una función cuadrática es una curva en forma de U, denominada parábola. Una característica importante del gráfico es que tiene un punto extremo, denominado vértice. Si la parábola se abre, el vértice representa el punto más bajo en el gráfico o el valor mínimo de la función cuadrática. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto en el gráfico o el valor máximo. En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en el gráfico. El gráfico también es simétrico, con una línea vertical trazada a través del vértice, denominada eje de simetría. Estas características se ilustran

𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐

donde 𝑎,𝑏, y 𝑐 son números reales y 𝑎≠0. Si 𝑎>0, la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de 𝑎<0, la parábola se abre hacia abajo. Podemos utilizar la forma general de una parábola para hallar la ecuación del eje de simetría.

El eje de simetría está definido por 𝑥=−𝑏2⁢𝑎. Si utilizamos la fórmula cuadrática, 𝑥=−𝑏±√𝑏2−4⁢𝑎⁢𝑐2⁢𝑎, para resolver 𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐=0 para las intersecciones en 𝑥, o ceros, hallamos que el valor de 𝑥 a mitad de camino siempre es 𝑥=−𝑏2⁢𝑎, la ecuación del eje de simetría.

La Figura 4 representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma general como 𝑦=𝑥2+4⁢𝑥+3. En esta forma, 𝑎=1,𝑏=4, y 𝑐=3. Dado que 𝑎>0, la parábola se abre hacia arriba. El eje de simetría es 𝑥=–42⁢(1)=−2. Esto también tiene sentido porque podemos ver en el gráfico que la línea vertical 𝑥=−2 divide el gráfico por la mitad. El vértice siempre se produce a lo largo del eje de simetría. Para una parábola que se abre hacia arriba, el vértice se encuentra en el punto más bajo del gráfico; en este caso, (–2,−1). La intersección en 𝑥, aquellos puntos en los que la parábola cruza el eje 𝑥, se producen en (−

𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐

donde 𝑎,𝑏, y 𝑐 son números reales y 𝑎≠0. Si 𝑎>0, la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de 𝑎<0, la parábola se abre hacia abajo. Podemos utilizar la forma general de una parábola para hallar la ecuación del eje de simetría.

El eje de simetría está definido por 𝑥=−𝑏2⁢𝑎. Si utilizamos la fórmula cuadrática, 𝑥=−𝑏±√𝑏2−4⁢𝑎⁢𝑐2⁢𝑎, para resolver 𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐=0 para las intersecciones en 𝑥, o ceros, hallamos que el valor de 𝑥 a mitad de camino siempre es 𝑥=−𝑏2⁢𝑎, la ecuación del eje de simetría.

La Figura 4 representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma general como 𝑦=𝑥2+4⁢𝑥+3. En esta forma, 𝑎=1,𝑏=4, y 𝑐=3. Dado que 𝑎>0, la parábola se abre hacia arriba. El eje de simetría es 𝑥=–42⁢(1)=−2. Esto también tiene sentido porque podemos ver en el gráfico que la línea vertical 𝑥=−2 divide el gráfico por la mitad. El vértice siempre se produce a lo largo del eje de simetría. Para una parábola que se abre hacia arriba, el vértice se encuentra en el punto más bajo del gráfico; en este caso, (–2,−1). La intersección en 𝑥, aquellos puntos en los que la parábola cruza el eje 𝑥, se producen en (−3,0) y (−1,0).

3,0) y (−1,0).