INTEGRALES MÚLTIPLES

Integrales multiples

Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f (x, y) ó f (x, y, z).

Sea R = [a, b] × [c, d], y sea f : R

2 → R una

función definida y acotada sobre R. Supongamos

que MR = {R1, R2, ...Rn} es un conjunto de

n rectángulos que conforman una malla que

cubre R (ver figura). El área de cada celda Ri

la

denotamos con ∆Ai

. La malla MR es el conjunto

de rectángulos Rij = [xi

, xi+1] × [yj , yj+1] de área

∆Aij = ∆xi∆yj

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación {\displaystyle x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})} y una región {\displaystyle T} en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función "f"

integral doble

El diámetro de cada celda Ri es la máxima distancia entre todas las distancias entre cualesquiera

dos puntos en Ri y se denota ||Ri

||. El diámetro de la malla MR es ||MR|| = Supi

{||Ri

||}. Conforme ||MR||→0, el

área de cada celda tiende a cero, es decir, ∆Ai→0 y la cantidad de celdas se hace infinitamente grande: n→∞.

Diamtero de la malla

Si f es no negativa en la región R, entonces:

l ́ım

||M||→0

Xn

i=1

f(xi

, yi)∆Ai con n = Card(M)

es el volumen de sólido Q, limitado por la región R y la superficie S : z = f(x, y). El límite se toma sobre todas las

posibles mallas rectángulares MR con (xi

, yi) cualquier punto de Ri

Volumen

Area y Volumen

De acuerdo con nuestra definición de integral doble, el área AR de una región R se puede calcular con la integral

doble (“área de la base × altura”)

AR =

Z Z

R

1 dA

Sea f(x, y) ≥ 0 y continua en una región cerrada R. Sea VQ el volumen del sólido Q que tiene a R como base y

una altura de medida f(x, y) en cada (x, y) ∈ R, entonces

VQ =

Z Z

R

f(x, y) dA

Si el sólido Q está limitado, sobre la región cerrada R, por

dos superficies de ecuaciones z = f(x, y) y z = g(x, y)

con f y g continuas y f(x, y) − g(x, y) ≥ 0 sobre R,

entonces

VQ =

Z Z

Rxy

f(x, y) − g(x, y) dA