DERIVADAS PARCIALES E INTEGRALES MULTIPLES

Derivadas parciales

Es una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes.

PROPIEDADES

¿Cómo clasificar?

Para clasificar una derivada parcial se coloca el número de veces que fue derivado, quedando como la potencia de "∂".

Derivadas parciales de Orden Superior

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f'(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada y así sucesivamente.

REGLA DE LA CADENA

1. Para poder resolverlas se toma una variable dejando el resto como constantes.

2. "∂" Denota la variable con la que se va a derivar parcialmente.

3. En una sola función se puede tener múltiples combinaciones a la hora de deriva parcialmente.

DERIVADAS PARCIALES E INTEGRALES MULTIPLES

MATRIZ JACOBIANA

Llamamos matriz jacobiana de f en el punto a y la denotamos por Jf(a), a la matriz de orden mxn, donde m es la dimensión de la imagen y n es la dimensión del dominio de definición (en nuestro ejemplo sería 2×3), que se obtiene al hacer la traspuesta del vector gradiente de la función de cada una de sus componentes.

DERIVACIÓN IMPLICITA

Función implícita

Función explicita

Una función es implícita si viene dada de la forma f(x, y) = 0 , es decir, si la función se expone como una expresión algebraica igualada a 0.

La derivada implícita de una función implícita se obtiene derivando la función, después de despejar la variable y, que es la que se considera variable dependiente (a esta derivada la llamaremos y’), considerando que es función de x.

Una función es explícita si viene dada como y = f(x) , es decir, la variable dependiente y está despejada.

Derivadas de Función Vectorial

La derivada de una función vectorial representa la velocidad de la partícula. La segunda derivada de la función es la función aceleración. Todas estas tres funciones dependen del parámetro t, que para este caso, es el tiempo.

OPERADOR DIFERENCIAL

Un operador diferencial es un operador lineal definido como una función del operador de diferenciación. Ayuda, como una cuestión de notación, considerar a la diferenciación como una operación abstracta, que acepta una función y regresa otra.

OPERADOR NABLA

Integrales múltiples

Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con respecto a diferentes variables).

y = 7x - 3

expresada:

y - 7x + 3 = 0

y + 3x2 - 8x + 5 = 0

expresada:

y = - 3x2 + 8x - 5

Justificación Geométrica

Magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación

y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en ésta).

La integral de f sobre T está dada por:

Definición

PROPIEDADES

Las integrales múltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada D en un espacio R n y c una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:

INTEGRALES DOBLES

Una integral doble, está definida con respecto a un área en el plano xy, existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy.

A veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

Cambio de variable de una integral doble

A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda,

Aplicaciones de la integral doble

Áreas

Volúmenes

Consideramos la región R acotada por ? ≤ ? ≤ ? ? ?1 (?) ≤ ? ≤ ?2 (?). El área plana R está dada por la integral.

Si F en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral doble de f sobre R está dada por:

INTEGRALES TRIPLES

PROPIEDADES

Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble.

1. Toda función continua es integrable ·

2. Linealidad, monotonía y aditividad ·

3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integración reiterada.

Integrales triples sobre regiones más generales

Las regiones del Tipo I

Las regiones del tipo III

Las regiones del tipo IV

Las regiones del tipo II

Son (paralelepípedo con paredes frontal y posterior).

Son aquellas en las que c<=y<=d (paralelepípedos con paredes izquierda y derecha planas).

Son aquellas en las que <=z<=f (paralelepípedos con fondo y tapa planas)

Son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I, II o III.