Tema 6 - Funciones y Características

Tema 6 - Funciones y Características

1. Funciones

   • Definición
     • Relación o correspondencia entre dos variables, x e y, de forma que, a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la variable dependiente y.
   • Variables
     • Independiente, x
       • Toma diferentes valores, solo los que tengan sentido
     • Dependiente, y
       • Su valor depende del valor que tome x.
   • Formas de expresarlas
     • Enunciado
       • La función se indica mediante frases tomadas del lenguaje cotidiano
     • Expresión algebraica
       • La función se indica a través de una expresión algebraica que asocia a cada valor de x un único valor de y.
     • Tabla de valores
       • La función viene dada mediante una tabla de valores, a través de pares de valores de las variables x e y.
     • Gráficos
       • La función viene representada en una gráfica mediante los pares de valores (x, y) dispuestos sobre los ejes de coordenadas cartesianas.

2. Punto 2

   • Dominio y recorrido
     • El dominio de una función es el conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se representa por D (f).
     • El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, y. Se representa por R (f) o Im (f).
   • Puntos de corte
     • Eje x
       • Tienen su variable dependiente y, igual a 0. Para obtenerlos, se iguala a 0 la expresión algebraica de la función y se resuleve la ecuación. Una función puede tener más de un punto de corte con el eje x.
     • Eje y
       • Tiene su variable independiente, x, igual a 0. Para obtenerlo, se sustituye la variable x por el valor 0 en la expresión algebraica de la función y se opera. Una función solo puede tener un punto de corte con el eje y.

3. Signo de una función

   • Positiva
     • Una función es positiva si su gráfica está por encima del eje x. La variable dependiente, y, es positiva.
   • Negativa
     • Una función es negativa si su gráfica esta por debajo del eje x. La variable dependiente, y, es negativa.
   • Nula
     • Una función es nula si su gráfica está sobre el eje x. La variable dependiente, y, es cero. En este caso se trata de los puntos de corte con el eje x.

4. Punto 4

   • Continuidad
     • Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel
     • Discontinuidad
       • Una función es discontinua si la gráfica tiene algún salto o interrupción
       • Evitable
         • No existe función en ese punto
           • No está definida en el punto de discontinuidad x=a
         • Punto desplazado
           • Solo tiene un salto en el punto de discontinuidad x=a
       • Inevitable
         • Salto finito
           • Presenta un salto de longitud finita en el punto de discontinuidad x=a
         • Salto infinito
           • Presenta un salto de longitud infinita en el punto de discontinuidad x=a
   • Periocidad
     • Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo de la variable x.
   • Simetría
     • Eje de coordenadas
       • Una función es simétrica si para cualquier valor, x, de su dominio y su opuesto, se verifica que sus imágenes coindicen: f(x)=f(-x)
     • Origen de coordenadas
       • Una función es simétrica si para cualquier valor, x, de su dominio y su opuesto, se verifica que sus imágenes son opuestas: f(-x)= -f(x)
     • Una función también puede no tener simetría

5. Punto 5

   • Crecimiento y decrecimiento
     • Creciente
       • Una función es creciente cuando en un intervalo de su dominio, al aumentar el valor de la variable independiente, x, incrementa el valor de la función
     • Decreciente
       • Una función es decreciente cuando en un intervalo de su dominio, al aumentar el valor de la variable independiente, x, disminuye el valor de la función
     • Constante
       • Una función es constante cuando en un intervalo de su dominio, al aumentar el valor de la variable independiente, x, la función no crece ni decrece
   • Extremos
     • Máximos y mínimos
       • Relativos
         • Una función tiene un máximo relativo en el punto x=a al pasar, en dicho punto de ser creciente a decreciente. El valor de la función en ese punto es mayor que en los puntos de su entorno
         • Una función tiene un mínimo relativo en el punto x=a al pasar, en dicho punto de ser decreciente a creciente. El valor de la función en ese punto es menor que en los puntos de su entorno
       • Absolutos
         • El máximo absoluto de una función es el máximo relativo que alcanza el mayor valor de la función
         • El mínimo absoluto de una función es el mínimo relativo que alcanza el menor valor de la función