VECTORES

VECTORES

1. Exprecion algebraica

   • de forma horizontal, de forma vertical
   • El concepto de NORMA de un vector generaliza el concepto de módulo de un vector del espacio euclídeo.
   • Angulos Directores es el ángulo que determina la dirección del vector y el sentido positivo de un eje coordenado
   • Los vectores <1, 0> y <0, 1> son llamados vectores unitarios estándar : i = <1, 0> y j = <0, 1>. Estos se utilizan para representar cualquier vector. V= <x, y> = x<1, 0> + y<0, 1> = xi + yj Esta forma de expresar un vector se la llama combinación lineal, donde x y y son los componentes horizontal y vertical de cada vector

2. Definición

   • En la geometría, se puede decir que es una expresión geométrica que se extiende desde un punto de referencia llamado origen, hacia otro punto que se denomina extremo

3. Propiedades de los vectores

   • La propiedad conmutativa es la propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, A+B = B+A.
   • La propiedad asociativa es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la resultante (la suma). Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, (A+B)+C = A+(B+C).
   • La propiedad distributiva es la propiedad que relaciona la multiplicación y la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, k(A+B) = kA+kB.
   • La propiedad del inverso aditivo es la propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero. Sean A y -A dos vectores cualesquiera entonces, A+(-A) = 0.

4. Operaciones basicas sumas, restas, multiplicacion

   • suma de vectores
     • sumas de dos magnitudes escalares, basta con sumar sus valores numéricos. Por ejemplo 10 w más 20 w son 30 w de potencia.
     • sumar dos magnitudes vectoriales el proceso es más complejo, pues se debe tener en cuenta dirección y sentido.
     • Suma de dos vectores en 3D y conocemos sus componentes, las componentes del vector suma, aplicando el mismo procedimiento, sería
   • La resta se procede igual que en la suma, bien operando con las componentes cartesianas, o bien mediante el método del paralelogramo. la resta de dos vectores equivale a sumarle al primero el opuesto del segundo
   • Multiplicacion de vectores:
     • La multiplicación de un producto vector por un escalar n es otro vector cuyo módulo será /n/*/v/. Si n es positivo, el vector producto tendrá el mismo sentido. Si n es negativo, el vector producto tendrá el sentido opuesto
     • Producto de tres vectores: producto mixto. Es un número o magnitud escalar que se obtiene, partiendo del producto vectorial de dos vectores a y b , multiplicado escalarmente por un tercer vector d .

5. producto escalar también conocido como producto interno o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número dos vectores que forman entre sí un ángulo α, a un número escalar (atención, no un vector) igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo α que forman.

6. Producto vectoral: o producto cruz, de dos vectores Vector a y Vector b a otro vector Vector c cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que forman. Para indicar el producto vectorial se usa tanto la notación Vector a x Vector b como Vector a ∧ Vector b. Aquí utilizaremos la notación Vector a ∧ Vector b.

7. MATRIZ

   • Matriz inversa
     • El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad. A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A= I Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: El método de Gauss y el método por cálculo de determinantes. Propiedades de la matriz inversa
       • propiedades
   • operacion basica entre matrices
     • MULTIPLICACION DE MATRICES : Solo puede multiplicar dos matrices si sus dimensiones son compatibles , lo que significa que el número de columnas en la primera matriz es igual al número de renglones en la segunda matriz. Si A es una matriz a × b y B es una matriz b × c , el producto AB es una matriz a × c . La definición de la multiplicación de matrices indica una multiplicación renglón-por-columna, donde las entradas en el renglón i th de A son multiplicadas por las entradas correspondientes en el renglón j th de B y luego se suman los resultados. La multiplicación de matrices NO es conmutativa. Si ni A ni B son una matriz identidad, AB ≠ BA.
     • Resta de matrices: consiste en restar los distintos componentes de cada matriz, siempre respetando el lugar que ocupan en la estructura. Si las matrices tuvieran distinta cantidad de componentes, la operación no se puede completar. Cabe mencionar que lo mismo ocurre con la adición (o suma) de matrices. Sin embargo, no existe una restricción con respecto a la proporción que debe haber entre el número de filas y columnas.
     • Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición. PROPIEDADES *Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. *Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C *Elemento neutro: A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. *Elemento opuesto: A + (−A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. *Conmutativa: A + B = B + A
   • tipos de matriz
     • Matriz nula La matriz nula donde todos los elementos son cero. Suele designarse con un 0:
     • Matriz identidad Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal valen uno, es decir, la diagonal principal está formada por 1, y el resto de los elementos son 0:
     • Matriz escalar La matriz escalar es toda matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales:
     • Matriz diagonal Es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son ceros:
     • Matriz triangular inferior Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por debajo de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por encima de la diagonal principal son ceros
     • Matriz rectangular Es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas (m≠n):
     • Matriz triangular superior Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por encima de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por debajo de la diagonal principal son ceros
     • Matriz cuadrada de orden n Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (m = n). En este caso, la dimensión se denomina orden, cuyo valor coincide con el número de filas y de columnas.
     • La matriz opuesta a otra matriz es la que tiene todos los Matriz traspuesta Se llama matriz traspuesta de una matriz cualquiera de dimensión m x n a la matriz que se obtiene al convertir las filas en columnas. Se representa con el superíndice «t»y su dimensión es por tanto n x mde signo contrario a la matriz original. Por ejemplo, si tenemos la matriz A
     • Matriz columna Es toda matriz rectangular con una columna (n = 1).
     • Matriz fila Es toda matriz rectangular que tiene una sola fila (m = 1).
   • es un arreglo bidimensional de números. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

8. DETERMIANATES

   • Concepto
     • forma multilineal alternada sobre un espacio vectorial, El concepto de determinante o volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
   • determinantes NXN
     • El determinante de la matriz es el número que se calcula por ciertas reglas. Para calcular el determinante de matriz cuadrada de todo orden n (matriz de n x n ), donde >2 , es necesario introducir el concepto de menor y de complemento algebraico
   • propiedades de los determinantes
     • 1.El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales.
     • 2. Posee dos filas (o columnas) iguales.. Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.
     • 3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
     • 4. Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.
     • 5. Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía. Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía
     • 6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.
     • 7. Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes

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