FUNCIONES Y GRAFICAS

FUNCIONES Y GRAFICAS

1. Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un conjunto denominado dominio un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función

   • La definición no pone restricción sobre los conjuntos del dominio y del rango. El dominio podría consistir en el conjunto de personas en su curso de cálculo, el rango el conjunto de calificaciones {A, B, C, D, F} que obtendrán y la regla de correspondencia la asignación de calificaciones
     • Notación funcional Una sola letra como f (o g o F) se utiliza para nombrar una función. Entonces f(x), que se lee “f de x” o “f en x”, denota el valor que f asigna a x
     • Dominio y rango Para especificar por completo una función, debemos establecer, además de la regla de correspondencia, el dominio de la función. Por ejemplo, si F es la función definida por F(x) = x2 + 1 con dominio {-A,B,C,D,E} , entonces el rango es {1, 2, 3, 4}. La regla de correspondencia, junto con el dominio, determina el rango.
       • Cuando no se especifica un dominio para una función, suponemos que es el conjunto más grande de números reales para el cual la regla de la función tiene sentido
     • Gráficas de funciones Cuando el dominio y el rango de una función son conjuntos de números reales, podemos describir la función mediante el trazo de su gráfica en un plano coordenado
     • Dos funciones especiales Entre las funciones que con frecuencia utilizaremos como ejemplos, hay dos que son muy especiales: la función valor absoluto, y la función máximo entero,

2. Operaciones con funciones

   • Al igual que dos números a y b pueden sumarse para producir un nuevo número a + b, también dos funciones f y g pueden sumarse para producir una nueva función f + g. Ésta es sólo una de las diferentes operaciones sobre funciones que describiremos en esta sección
     • Por supuesto, debemos tener un poco de cuidado con respecto a los dominios. Claramente, x debe ser un número en el que tanto f como g funcionen
   • Composición de funciones Al principio, le pedimos que pensase en una función como una máquina. Que recibe x como entrada, trabaja sobre x y produce f(x) como salida
     • Con frecuencia, dos máquinas se ponen una tras otra para producir una máquina más compleja; del mismo modo, dos funciones f y g . Si f actúa sobre x para producir f(x) y luego g actúa sobre f(x) para producir g(f(x)), decimos que hemos compuesto g con f. La función resultante, llamada composición de g con f,
       • Debemos tener cuidado al describir el dominio de una función compuesta
   • Catálogo parcial de funciones Una función de la forma f(x) = k, donde k es una constante (número real), se denomina función constante. Su gráfica es una recta horizontal. La función f(x) = x se denomina función identidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen con pendiente 1 . Con base en estas funciones sencillas, podemos construir muchas funciones importantes

3. Funciones trigonométricas

   • Las funciones trigonométricas con base en el círculo unitario. El círculo unitario, que denotamos con C, es el círculo con radio 1 y centro en el origen, cuya circunferencia tiene ecuación x2 + y2 = 1. Sea A el punto (1, 0) y sea t un número positivo. Existe un solo punto P en el círculo C tal que la distancia, medida en sentido contrario de las manecillas del reloj alrededor del arco AP, es igual a t.
     • Recuerde que la circunferencia de un círculo con radio r es 2pr, de modo que la circunferencia de C es 2p
   • Propiedades básicas del seno y del coseno: Primero, como t puede ser cualquier número real, el dominio de las funciones seno y coseno es (-, ) Segundo, x y y siempre están entre -1 y 1. Así, el rango para las funciones seno y coseno es el interva
     • Puesto que el círculo unitario tiene 2p de circunferencia, los valores de t y t + 2p determinan el mismo punto P(x, y). Por lo tanto, sen(t + 2p) = sen t y cos(t + 2p) = cos t
   • Gráficas de seno y coseno Para graficar y = sen t y y = cos t, seguimos nuestro procedimiento usual de construir una tabla de valores, trazar los puntos correspondientes y unir estos puntos con una curva suave
   • Periodo y amplitud de las funciones trigonométricas Una función f es periódica si existe un número p tal que f(x + p) = f(x) para todos los números reales x en el dominio de f
     • El número positivo p más pequeño de tales números se denomina periodo de f. La función seno es periódica porque sen(x + 2p) = sen x para toda x
   • Otras cuatro funciones trigonométricas Podríamos valernos sólo de las funciones seno y coseno, pero es conveniente introducir cuatro funciones trigonométricas más: tangente, cotangente, secante y cosecante.
   • Relación con la trigonometría del ángulo Por lo común, los ángulos se miden en grados o en radianes. Por definición, un radián es el ángulo que corresponde a un arco de longitud 1 en un círculo unitario
     • El ángulo que corresponde a una vuelta completa mide 360°, pero sólo 2p radianes. De manera equivalente, un ángulo llano (de lados colineales)medirá 180° o p radianes

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