ANÁLISIS COMBINATORIO

ANÁLISIS COMBINATORIO

1. Principios fundamentales del analisis combinatorio

   • Es el arte de contar sin enumerar directamente todos los casos que se pueden dar en un suceso determinado.
     • Principio de multiplicación
       • El número de formas en que ocurre un suceso se descompone en elemnetos independientes, o los sucesos ocurren uno a continuación del otro, originando así un suceso compuesto. "se aplica la regla del producto".
         • EJEMPLO. Si yo compro: 4 blusas, 3 pantalones y 5 pares de zapatos ¿cuantas pintas puedo armar? R/ Dado que cada prenda es independiente de 4, 3 y 5 articulos diferentes en total, si aplicamos la regla del producto hay 60 maneras diferentes para combinar las prendas de vestir. 4x3x5=60
     • Principio de adición
       • Para contar los elementos de 2 o más conjuntos disjuntos basta con sumar el número de elementos de cada uno de ellos.
         • EJEMPLO. Para ir de la casa a un concierto, Moisés utiliza el transporte público, muy cerca de su casa pasan tres rutas de buses independientes y hay una estación de transmilenio por la que pasan 2 rutas diferentes. Teniendo en cuenta que cualquiera de las rutas lo dejan cerca del movistar arena ¿De cuantas formas diferentes puede ir Moisés al concierto? R/ Tiene 5 posibilidades para sistir al concierto utilizando el transporte público

2. Variaciones

   • Sin repetición
     • Es el número de grupos de tamaño K que se pueden tomar a partir de un conjunto base "n" elementos de manera que no se pueden repetir ningún elemento en cada grupo y estos se van a diferenciar tanto por los elementos como por el orden en que se dispone.
       • EJEMPLO. "Esto se deduce del principio de multiplicación". En un concurso de baile de 20 participantes se quiere premiar a los 3 mejores con primer, segundo y tercer puesto. ¿De cuantas formas puede premiarse dicho concurso? R/ El primer puesto será elegido entre 20 participantes, el segundo puesto será elegido entre los 19 participantes restantes, el tercer puesto solo puede ser uno de los 18 restantes; por tanto, existen 20x19x18=6840 posibilidades de escoger los mejores participantes del concurso.
   • Con repetición
     • Número de grupos de tamaño K que se pueden formar a partir de un conjunto base de "n" elementos. De modo que cada elemento del grupo puede aparecer hasta "K" veces. Los grupos se diferencian por los elementos y por el orden en que se disponen. Al admitirse la repetición el tamaño de los grupos puede ser superior, igual o inferior al conjunto base. Por lo tanto aplicando la regla del producto se obtiene que el número de variaciones que se pueden construir co repetición es el resultado de multiplicar K veces "n"
       • EJEMPLO. Si lanzamos 3 dados de diferentes tamaño y color ¿Cuantos resultados distintos podemos obtener? R/ El conjunto base está formado por 6 elementos (son las caras númeradas del dado), que debemos agrupar de 3 en 3 (tres dados). Cada una de las caras puede aparecer hasta 3 veces en cada lanzamiento. n=6 y K=3. VR=6x3=6x6x6=6^3=216

3. Permutaciones

   • Son agrupaciones ordenadas que pueden formarse tomando todos los elementos del conjunto a la vez, se permuta o reordenan elementos distintos entre si
     • Sin repetición
       • Las permutaciones de orden "n" son el número de grupos de tamaño "n" que se pueden formar a partir de un conjunto base de "n" elementos, sin que ningún elemento este repetido y de modo que los grupos se diferencien unicamente por el orden en que están colocados. Se calcula como "n factorial" n!
         • EJEMPLO. 4 señoras van a un restaurante ¿De cuantas formas pueden sentarse en una mesa con 4 platos? R/ El conjunto base va a estar formado por 4 elementos (4 señoras) todos los elementos entran a formar parte de lo diferentes grupos (cada señora elige un plato). Si importa el orden en que se siente la una de la otra, es decir al sentarse la primera señora quedan tres platos libres; el tercer plato sera para uno de los dos que quedan y el cuarto plato para la ultima señora. Por lo tanto el número de permutaciones de orden 4 es: p(4)=4x3x2x1=4!=24 formas de sentarse
     • Con repetición
       • En cada grupo se diferencian por el orden en que esten colocados los elementos de diferente naturaleza, es decir se excluyen las reordenaciones de elementos sin distinguirlas entre si.
         • EJEMPLO. ¿De cuantas formas pueden colocarse las fichas rojas en la primera fila del tablero del juego de Danganronpa? R/ El conjunto base está formado por 8 fichas rojas: 2 osos negros, 2 niñas, 2 niños, 1 maestro, 1 rector. P(8)=8!/2!x2!x2!x1!x1!=40320/8 = 5040 formas de colocación de las fichas
     • Circulares
       • Nos permiten determinar el número de formas de ordenar diferentes objetos al rededor de un circulo. Importa el orden, no se puede repetir, se utilizan todos los elementos. A la hora de "girar" el circulo nos va a dar lo mismo, la forma de hacer las distintas combinaciones van a ser las mismas.
         • EJEMPLO. En una mesa redonda se sientan 4 personas. ¿De cuantas formas pueden hacerlo? R/ No importa el sitio en que se sienten porque Pc 4= (4-1)!=3!=3x2x1=6

4. Combinaciones

   • No influye el orden de colocación de los elementos al formar los diferentes subconjuntos, sino que 2 grupos se diferencian entre si solo si tienen algún elemento distinto.
     • Sin repetición
       • El total de combinaciones sin repetición de orden K a partir de "n" elementos es el número combinatorio de n/K
         • EJEMPLO. De las 5 mejores peliculas de animación, se quiere seleccionar a 2 de ellas para presentarlas en un colegio. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden seleccionar estas 2 peliculas? R/ Conjunto base 5 peliculas, se agrupan de 2 en 2, no importa el orden, no se pueden repetir, no entran todos los elementos disponibles. n=5 K=2 C=5/2=5!/2!(5-2)!=5!/2!x3!=5x4x3!/2!x3!=20/2=10
     • Con repetición
       • Se trata de formar grupos de tamaño K a partir de un conjunto base en el que hay "n" elementos diferentes con repeticiones eventuales de alguno de ellos. El número total de combinaciones de este tipo se obtienen del resultado del número combinatorio de n+K-1/K
         • EJEMPLO. En mi closet tengo 5 chaquetas diferentes ¿De cuantas formas se pueden elegir al azar 2 chaquetas? R/ Conjunto base 5 elementos, agrupados de 2 en 2, no importa el orden, si se pueden repetir, no entran todos los elemtos disponibles. n=5 K=2 CR5x2=[5/2]=(5+2+1/2)=6!/2!x4!=30/2 =15 formas de legir