Cálculo 1

Cálculo 1

1. Integrales, antiderivadas

   • Se dice que una función F es una antiderivada de una función f sobre algún intérvalo I si F ' (x)= f(x) para toda x en I.
   • Teorema 1 (recordando el corolario 2): Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada mas general de f en I es F(X) + C , donde C es una constante arbitraria.
   • Integral indefinida o primitiva
     • La notación derivada de f (x) dx, se denomina integral indefinida de f(x) respecto a x. La función f(x) se denomina integrando.
       • El proceso de encontrar la antiderivada se denomina ANTIDIFERENCIACIÓN o INTEGRACIÓN.
       • El n° C se denomina CONSTANTE DE INTEGRACIÓN.
     • Métodos para calcularla:
       • Directo (reglas)
       • Por sustitución (integral de f(g(x))g ' (x)dx)
         • La idea es introducir una nueva variable u que sustituye una expresión que depende de x de forma que la integral se transforme en otra integral dependiendo de la nueva variable u mas fácil de integrar. Debemos calcular el diferencial u haciendo la derivada de u y diferencial x.
         • 1) Sea u= g(x) una función diferenciable cuya imágen es un intervalo I, y sea f una función definida en I y F una primitiva de f en I. Entonces: la integral de f(g(x))* g' (x)dx=la integral de f(u)du= F(u) + C = F(g(x)) + C
           • 2) Sea u= g(x) una función diferenciable cuya imágen es un intervalo I, y sea f una función definida en I y F una primitiva de f en I. Entonces: la integral de f (g(x))* g' (x) dx= la integral de f (u) du= F (u) + C= F(g(x)) + C. DEMOSTRACION EN EL TEORICO.
         • Directrices para efectuar una sustitución u: - En la integral f(g(x)) * g'(x) dx identifique las funciones g (x) y g'(x) dx.. - Exprese la integral totalmente en términos del símbolo u al sustituir u y du por g(x) y g' (x) dx respectivamente, en su sustitución no debe haber variables x; déjelas en la integral. - Efectué la integración con respecto a la variable u. - Finalmente, vuelva a sustituir g (x) por el símbolo u.
         • Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente, la regla de sustitución para integrar corresponde a la regla de la cadena para derivar.
       • Por partes
         • La regla que corresponde a la del producto para la derivación se llama la regla de la integración por partes.
           • Lo primero que debemos hacer es elegir de forma conveniente las funciones f y g' y luego calcularemos la integral de f' . g, esta integral debe ser mas facil de resolver sino se prueba eligiendo nuevamente, si resulta aun mas complicado se elije otro método. A veces debemos aplicar mas de una vez este método para llegar a conocer la primitiva buscada. También existen integrales que se resuleven de forma cerrada. VER EJEMPLOS DEL TEÓRICO
   • Integral definida
     • PROBLEMA DEL ÁREA: El área A de la región S que se encuentra debajo de la grafica de la función continua f es el lim de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación. Se puede probar que el lim siempre existe, puesto que se supone que f es continua.
       • En lugar de usar los puntos extremos izquierdos o los derechos, podríamos usar la altura del i- ésimo rectángulo como el valor de f en cualquier número x1* en el i-ésimo subintervalo. A estos n° los llamamos puntos muestra. Una expresión mas general para e área S es.
       • Cálculo de áreas
         • área bajo una curva: es la integral común
         • área sobre una curva es la integral común pero negativa
         • área entre dos curvas es la integral de f -g
     • PROBLEMA DE LA DISTANCIA: la distancia recorrida también coincide con el área debajo de la gráfica de la función de velocidad.
     • Estos tipos de límites se presenta en muchas ocaciones, incluso cuando f no es necesariamente una función positiva
       • Def. de integral def: Si f es una función continua definida para a menores o iguales que x menores o iguales a b, dividimos el intervalo [a;b] en n subintervalos de igual ancho, es decir el delta de x =(b-a)/n. Denotamos con x0 (=a),x1,x2,x3....,xn(=b) los puntos extremos de estos subintérvalos y elegimos los puntos muestra x1*,x2*,xn* en estos subintervalos, de modo que xi* se encuentre en el i-esimo subintervalo [xi-1,xi]. Entonces la integral definida de f, desde a hasta b es:
         • a es el lim inferior, b es el lim superior, f(x) es el integrando y el diferencial x es el que indica respecto a que variable se integra
         • Teoremas
           • 1) INTEGRAL DEFINIDA DE UNA CONSTANTE: Para cualquier constante k su integral es = a k.(b-a), si k es mayor a 0.
           • 2)PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA: Si f y g son funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a;b] entonces:
           • 3)PROPIEDAD ADITIVA DEL INTÉRVALO: Si f es una función integrable sobre un intervalo cerrado qu contiene a los n° a, b y c, entonces
           • 4) PROPIESDADES DE COMPARACIÓN: Sean f y g funciones integrables sobre el intervalo cerrado[a;b]. i- Si f(x) es mayor o igual a 0 para toda x en el intervalo, entonces la integral de f de x es mayor o igual a 0. ii- Si f de x es mayor a g de x entonces la integral de f es mayor a la integral de g. iii- Si m es menor o igual a f de x pero esta es menor a M para toda x en el intervalo, entonces m.(b-a) es menor o igual a la integral de f que a su vez es menor o igual a M.(b-a).
           • 5) TEOREMA FUNDAENTAL DEL CALCULO, FORMA DE ANTIDERIVADA: Si f es una función continua sobre un intervalo cerrado a b y F es una antiderivada de f sobre el intervalo entonces la integral de f de x es igual a F(b) - F(a)
           • 5*) TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO FORMA DE DERIVADA: Sea f continua sobre el intervalo cerrado y sea x cualquier n° en el intervalo, entonces g (x) = a la integral de f (t) es continua sobre el intervalo cerrado y diferenciable sobre (a;b)
             • Afirma que si integramos f y, a continuación derivamos el resultado, regresamos a la función original. f
           • 6) TEOREMA DEL CAMBIO TOTAL O CAMBIO NETO: La integral definida de la razón de cambio de una cantidad F ' (x) proporciona el cambio total, o cambio neto, en esa cantidad sobre el intervalo cerrado a b.

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