Métodos de integración e integral indefinida.

Métodos de integración e integral indefinida.

1. Integral indefinida

   • Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
     • 1. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
     • 2. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. integrales con método de la cadena

   • Es una norma de la derivación que nos dice que, teniendo una variable y que depende de u, y si esta depende a la variable x, entonces la razón de cambio de y respecto a x puede estimarse como el producto de la derivada de y con respecto a u por la derivada de u respecto a x.
     • si F es diferente a "X" y "Y" es una funcion diferenciable en F(x)
     • la funcion compuesta (g ° f)(x)= g(f(x)) es diferente a x y

3. integral por sustitución

   • Es una técnica inteligente e intuitiva que se utiliza para resolver integrales, y juega un papel crucial en la tarea de resolver integrales, junto con la integración por partes y descomposición de fracciones parciales método
     • Entonces, la idea es integrar una función dada f(x)f(x). Entonces necesitamos encontrar: ∫f(x)dx
     • Digamos que la función f(x)f(x) no es una función cualquiera, y tiene una cierta estructura específica, específicamente f(x)=g(h(x))h ′ (x)
     • Y suponga que hay una función G(x)G(x) de modo que G'(x) = g(x)G ′ (x)=g(x) (entonces GG es la antiderivada de gg). Entonces, obtenemos eso ∫f(x)dx=∫g(h(x))h ′ (x)dx=G(h(x))+C

4. integración por partes

   • Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:
     • 1.El integrando debe ser un producto de dos factores.
     • 2.Uno de los factores será u y el otro será dv.
     • 3.Se calcula du derivando u y se calcula v integrando dv.
     • 4.Se aplica la fórmula.

5. integrales trigonometricas

   • Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución desde luego que son válidos los teoremas de integración.
     • 1. Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas.
     • Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.
     • Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.
     • Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.
     • Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x).
     • Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).

6. integrales con fracciones parciales

   • Consiste en convertir un cociente de polinomios en el cual el grado del denominador sea mayor que el numerador, en una suma de fracciones de polinomios de menor grado.
     • 1.Si el grado de P(x) no es menor que el de Q(x) se deben dividir los polinomios para obtener la forma apropiada.
     • Expresar Q(x) como un producto de factores lineales aix+ b o formas cuadráticas irreducibles ax2+bx+c y agrupar los factores repetidos para que Q(x) quede expresado por un producto de factores distintos de la forma (ax+b)m o bien (ax2+bx+c)n con m y n enteros no negativos.

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