Funciones

Funciones

1. 1. Funciones

   • Una función es una relación o correspondencia entre dos variables, x e y, de forma que, a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la variable dependiente, y.
     • La variable independiente, x, debe su nombre a que puede tomar diferentes valores, si bien solo entre aquellos que tengan sentido. Por su parte, la variable dependiente, y, se denomina así porque su valor depende del valor que tome x.
       • Formas de Representar una Función
         • Enunciado
           • «Un grupo de amigos planea ir al teatro. Cada entrada cuesta 20 €».
         • Expresión algebraica
           • y = 20x.
         • Tabla de valores
         • Gráfica

2. 2. Dominio y Recorrido. Puntos de corte

   • Dominio
     • El dominio de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se representa por D (f).
   • Recorrido
     • El recorrido o imagen de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, y. Se representa por R (f) o Im (f).
   • Puntos de corte
     • Los puntos de corte de una función, f (x), con el eje X se caracterizan por tener todos ellos su variable dependiente, y, igual a cero.
     • El punto de corte de una función, f (x), con el eje Y se caracteriza por tener su variable independiente, x, igual a cero.

3. 4. Simetría y periodicidad de una función

   • Una función, f (x), es simétrica respecto del eje de ordenadas, eje Y, cuando en todos los puntos de su dominio se verifica que f (–x) = f (x).
     • Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas son denominadas funciones pares.
     • Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas son denominadas funciones pares.
   • Una función es periódica de periodo T cuando en todos los puntos del dominio de la función se verifica que f (x + T) = f (x).

4. 5. Crecimiento y decrecimiento de una función

   • Una función, f (x), es creciente en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) ≤ f (b).
   • Una función, f (x), es decreciente en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) ≥ f (b).
   • Un función, f (x), es constante en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) = f (b).

5. 8. Tipos de discontinuidad

   • Una función tiene una discontinuidad evitable en x = a si la imagen de dicho punto no está en el trazo de la gráfica o el valor no pertenece al dominio de la función.
   • Una función tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en x = a si presenta un salto de longitud finita en ese punto. El punto x = a puede pertenecer o no al dominio.
   • Una función tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito en x = a si presenta un salto de longitud infinita en ese punto. El punto x = a puede pertenecer o no al dominio.

6. 7. Continuidad

   • Una función, f (x), es continua en un intervalo de su dominio, si su gráfica se puede dibujar en ese intervalo de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.
   • Una función, f (x), es discontinua en un intervalo de su dominio, cuando su gráfica no puede dibujarse de un solo trazo en dicho intervalo, es decir, cuando presenta algún salto.

7. 9. Análisis, interpretación y construcción de gráficas

   • El análisis de la gráfica de una función proporciona sus características generales:
     • Su dominio y recorrido.
     • Los puntos de corte con los ejes.
     • El signo de la función.
     • Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
     • Los máximos y mínimos relativos.
     • Los máximos y mínimos absolutos.
     • Su periodicidad.
     • Su simetría.
     • La continuidad y los puntos y tipos de discontinuidad.
   • Una vez que vemos una función somos capaces de interpretar la situación que representa y como evoluciona esta.

8. 6. Máximos y mínimos

   • Una función, f (x), tiene un mínimo relativo en x = a cuando existe un entorno del punto x = a en el que la imagen, f (a), es menor o igual que la imagen de cualquier otro punto de ese entorno.
   • Una función, f (x), tiene un máximo relativo en x = a cuando existe un entorno del punto x = a en el que la imagen, f (a), es mayor o igual que la imagen de cualquier otro punto de ese entorno.

9. 3. Signo de una función

   • Una función es negativa si su gráfica está por debajo del eje X. La variable dependiente, y, es negativa.
   • Una función es nula si su gráfica está sobre el eje X. La variable dependiente, y, es cero. En este caso se trata de los puntos de corte con el eje X.
   • Una función es positiva si su gráfica está por encima del eje X. La variable dependiente, y, es positiva.

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