Límite de una función

Límite de una función

1. Teoremas de Límites

   • Límites Unilaterales
     • Teorema 1
       • SI el límite existe, entonces es único.
     • Teorema 2
       • El límite de una función constante es esta misma constante.
     • Teorema 3
       • Límite de la función identidad
     • Teorema 4
       • El límite de la suma es la suma de los límites. El lÍmite de la resta es la resta de los límites.
     • Teorema 5
       • El límite del producto es el producto de los límites.
     • Teorema 6
       • El límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las mismas.
     • Teorema 7
       • En un límite de una constante multiplicada por una función se puede sacar la constante del límite sin que se afecte el resultado.
     • Teorema 8
       • El límite de una función potencial es la potencia del límite de la base elevado al exponente.
     • Teorema 9
       • El límite de una función polinómica se puede calcular sumando los límites de cada uno de sus términos.
     • Teorema 10
       • El límite de una raíz, es la raíz del límite.
     • Teorema 11
       • El límite de una función potencial exponencial, es la potencia de los límites de las dos funciones.
     • Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo en donde está el valor a del límite y k una constante.
   • Límites Bilaterales
     • Para que exista el límite L de una función f(x) en a, si existe, deben ser iguales el límite por la izquierda y el límite por la derecha.
       • Límite por la derecha
         • Se considera que una función f(x) se aproxima a un valor límite L por la derecha, cuando la variable independiente X tiende a un valor asignado a únicamente por la derecha.
       • Límite por la izquierda
         • Se considera que una función f(x) se aproxima a un valor límite L por la izquierda, cuando la variable independiente X tiende a un valor asignado a únicamente por la izquierda.
     • Teorema 12
       • El límite de una función f(x) existe para el valor a si y solo si existen los límites por la izquierda y por la derecha para la misma función y para el mismo valor a y si además estos dos límites son iguales.
   • Límites Infinitos
     • Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice que f(x) diverge a infinito.
       • Cuando la variable independiente x tiende el valor a por la derecha, el valor de la función f(x) tiende a infinito negativo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, el valor de la función f(x) tiende a infinito negativo.
       • Cuando la variable independiente x tiende el valor a por la derecha, el valor de la función f(x) tiende a infinito negativo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, el valor de la función f(x) tiende a infinito positivo.
       • Cuando la variable independiente x tiende el valor a por la derecha, el valor de la función f(x) tiende a infinito positivo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, el valor de la función f(x) tiende a infinito negativo.
       • Cuando la variable independiente x tiende el valor a por la derecha, el valor de la función f(x) tiende a infinito positivo y cuando la variable independiente x tiende al valor a por la izquierda, el valor de la función f(x) tiende a infinito positivo.
   • Límites al infinito
     • Un límite al infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la variable x se hace tan grande, tanto en positivo como en negativo, como queramos.
       • Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a +∞ si, en un entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese entorno, haciendo la variable x tan grande y positiva como se quiera, la diferencia | f(x) – L | resulta tan pequeña como se quiera.
       • Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a -∞ si, en un entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese entorno, haciendo la variable x tan grande y negativa como se quiera, la diferencia | f(x) – L | resulta tan pequeña como se quiera.

2. Continuidad de una función

   • Una función tendrá continuidad si no se presentan en ella puntos de ruptura, es decir, puntos donde la función no se encuentre definida o bien, en el caso de que el límite de la función no exista cuando la variable independiente tiende a dicho punto.
     • Función Continua
     • Función Discontinua
     • Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:
       • La función existe en a.
       • Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.
       • El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

3. Referencias

   • Serra, B. R. (2024, March 30). Límites. Universo Formulas. https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/limites/
   • Álgebra II v2: L8. Teorema de los límites. (n.d.). https://avalicmod19b.uveg.edu.mx/mod/scorm/

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