INTEGRALES

INTEGRALES

1. Definición:

   • Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
     • Las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x) Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

2. INTEGRALES DEFINIDAS

   • Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.
     • Se representa por:

3. INTEGRALES INDEFINIDAS

   • Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C

4. Métodos

   • Simple :
     • Funciones que admiten una primitiva simple. Se obtienen como una aplicación inmediata del teorema fundamental del calculo
   • Por partes:
     • Permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
       • Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u. Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
         • • En el primer caso aplicamos la fórmula directamente
           • Ejemplo:
         • • Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.
           • Ejemplo:
         • • Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación
           • Ejemplo:
         • • Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1
           • Ejemplo:
   • Sustitución:
     • Se basa en la derivada de la función compuesta. Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
       • • Ejemplo:
   • Integrales trigonométricas:
     • Caso 4: Productos de tipo sen(nx) · cos(mx) Se transforman los productos en sumas
     • Caso 3: Con exponente par e impar. El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.
     • Caso 2: Potencias impares de senx o cosx. Se relacionan el seno y el coseno mediante la fórmula:
     • Caso 1: Potencias pares de senx o cosx. Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad:
     • Ejemplos:
   • Sustitución trigonométrica:
     • Permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo. a y b deben se mayores a 0
   • Fracciones parciales:
     • Se trata de hallar la integral , siendo P(x) y Q(x) polinomios
       • • El denominador Q(x) contiene un factor irreductible repetido.
         • Ejemplos:
       • • El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite
       • • El denominador Q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten
       • • El denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos

5. Aplicaciones:

   • Problemas de condición inicial: Problema donde se resuelve una ecuación diferencial que está sujeta a una condición inicial
     • Ejemplo:
       • Una partícula P se mueve a lo largo del eje X de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo t≥0 está dada por a(t)=8-4t+ t^2 Encuentre la posición X(t) de la partícula en cualquier tiempo t, suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en x=1 y en t=2 está en x=7.
   • Áreas:
     • Función positiva
       • Función negativa
         • Entre dos gráficas
   • Valor promedio
     • Si la función f(x) es continua en el intervalo [a,b], entonces existe al menos un valor c∈[a,b] para el cual:
       • Es decir, existe un valor en el intervalo en el que la función alcanza el valor medio.
         • Ejemplo:
           • Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población dentro de t años está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t)=e^(0,023t). Encuentre, la población promedio de la tierra en los próximos 30 años.
   • Variacion
     • Si f'(x) es continua en [a,b], la variación total de f(x), cuando x varía de a hasta b está dada por:
       • Ejemplo:
         • Una sustancia química fluye en un tanque a razón de 180+3t l/h donde 0≤t≤1. Encontrar la cantidad de la sustancia química que fluye en el tanque: a. Durante la primera hora, b.Durante la segunda hora

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