LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. LÍMITES

   • DEFINICIÓN
     • La división que marca una separación entre dos regiones se conoce como límite.
       • Expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parametros se aproximan a un cierto valor
   • CLASES
     • Límite finito en el infinito
       • Definición
         • Se dice que una función tiene limite b cuando x tiende a +∞ cuando la función se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir: lımx→∞ f(x) = b
     • Límite infinito en el infinito
       • Definición
         • Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la función se hace cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).
           • Ejemplo
       • Limites de polinomios
         • El limite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞, dependiendo del coeficiente del t´termino de mayor grado del polinomio
           • l´ımx→∞(2x5 − 3x2 + 5) = +∞ lımx→∞(−3x7 − 5x2 + 4x − 8) = −∞
             • pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de x7 es negativo.
       • Indeterminación ∞ ∞
         • Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeterminada de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla
           • lımx→∞ x3 − 5x2 + 6 −x2 + 4 = ∞ ∞ = −∞
             • Porque el grado del numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de mayor grado tienen signo diferente.
   • PROPIEDADES
     • Límite de una Constante
       • El límite de una constante es la misma constante. límx→x0 k = k
         • Ejemplo
           • límx→ 1 5 = 5
     • Límite de una Constante por una Función
       • El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función. límx→x0 k · f(x) = k · límx→x0 f(x)
         • Ejemplo
           • límx→0 10·(x - 1)/(x + 1) = 10 · límx→0 (x - 1)/(x + 1) = 10 · (-1/1) = -10
     • Límite de la suma de funciones
       • El límite de la suma de funciones es igual a la suma de los límites de las funciones por separado. límx→x0 [ f(x) + g(x)] = límx→x0 f(x) + límx→x0 g(x)
         • Ejemplo
           • límx→ -2 (x + 2) + 1 / x = límx→ -2 (x + 2) + límx→ -2 1/x = 0 - 1/2 = -1/2
     • Límite de la resta de funciones
       • El límite de la resta de funciones es igual a la resta de los límites de las funciones por separado. límx→x0 [ f(x) - g(x)] = límx→x0 f(x) - límx→x0 g(x)
         • Ejemplo
           • límx→ -2 (x + 2) - 1 / x = límx→ -2 (x + 2) - límx→ -2 1/x = 0 + 1/2 = 1/2
     • Límite de la multiplicación o producto de funciones
       • El límite de la multiplicación de funciones es igual a la multiplicación de los límites de las funciones por separado. límx→x0 f(x) · g(x) = límx→x0 f(x) · límx→x0 g(x)
         • Ejemplo
           • límx→ 1 5x · (1 + x) = límx→ 1 5x · límx→ 1 (1 + x) = 5 + 2 = 7
     • Límite de la división o cociente de funciones
       • El límite de la división de funciones es igual a la división de los límites de las funciones por separado. límx→x0 f(x) / g(x) = límx→x0 f(x) / límx→x0 g(x)
         • Ejemplo
           • límx→ -2 (x + 2) / (x - 1) = límx→ -2 (x + 2) / límx→ -2 (x - 1) = 0 / (-3) = 0
     • Límite de la potencia
       • El límite de la potencia es igual a la potencia de los límites de las funciones por separado.
         • Ejemplo
           • límx→ 1 5x(1+1/x) = límx→ 1 5x lím(1+1/x) = 52 = 25
     • Límite de la raíz
       • El límite de la raíz n-ésima es igual a la raíz n-ésima del límite de la función.
         • Ejemplo
           • límx→ 5 √5x = √límx→ 5 5x = √25 = 5
     • Límite del logaritmo
       • El límite del logaritmo es igual al logaritmo del límite de la función.
         • Ejemplo
           • límx→ 5 log10 10x = log10 límx→ 510x = log10 105 = 5
     • Límite de la función de otra función
       • El límite de la función de otra función es igual a la función del límite.
         • Ejemplo
           • g(x) = 5x f(x) = x + 1 entonces límx→ 1 g[f(x)] = g (límx→ 1 (x + 1)) = g(2) = 5 · 2 = 10

2. CONTINUIDAD

   • DEFINICIÓN
     • Se dice que una función f(x) es continua en un punto a
       • CONDICIONES
         • El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:
           • • Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.
         • Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.
         • La función existe en a.
   • PROPIEDADES
     • La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.
     • El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.
     • El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula
     • Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

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