Analisis Numerico

Analisis Numerico

1. Tema 1: Aproximacion numerica, errores y solucion numerica de ecuaciones algebraicas

   • Metodos Cerrados
     • Metodo de Factores cuadraticos
       • . Con este método podemos obtener de manera indirecta raíces complejas, ya que al tener factores cuadráticos podemos utilizar la formula general
     • Metodo de Newton-Raphson
   • Metodos abiertos
     • Metodo de Regla Falsa
       • 1.Tabular y Graficar.
       • 2. Definir el intervalo a través de las cotas.
       • 3.Realizar una tabla con los datos necesarios
       • 4. Definir Xo, con el algoritmo X_1=a+(f(a)(a-b))/(f(b)-f(a))
     • Metodo del Punto Fijo
       • Tabular y graficar la función original.
       • 2. Fijar el intervalo.
       • 3. Calcular el X_0=(a+b)/2
       • 4. Hallar todos los posibles despejes de X.
       • 5. Derivando todos y cada uno de los despejes y evaluar en Xo.
       • 6. aplicar el criterio de convergencia |(df(x))/(d(x))| <1
     • Metodo de Biseccion
       • 1, Tabular la funcion
       • 2. Graficar la funcion
       • 3. Establecer el intervalo con cambio de puntos.
       • f(a) *f(b) < 0 lo cual implica que dentro del intervalo cerrado [a,b] existe al menos una raíz
       • Realizar la iteracion con: Xo=(a+b)/2
       • Evaluar la función en f(Xo), si resulta positiva se modificará la cota positiva, si resulta negativa, se modificará la cota negativa. Xo, toma el valor

2. Tema 2: Solucion Numerica de sistemas de ecuaciones lineales

   • Ecuacion Lineal: Serie de variables elevadas a la primera potencia.
     • Sistema Lineal: Conjunto de ecuaciones lineales.
     • Clasificacion:
       • Incompatible: (No existe solucion):
       • Compatible indeterminado (multiples soluciones):
       • Compatible Determinado (Unica solucion):
     • Solucion:
       • Gauss
       • Ecuaciones matriciales
       • Cramer
     • Solucion mediante aproximaciones sucesivas
       • Condiciones:: El sistema debe contar con una diagonal dominante
         • Metodo de Jacobi
           • Con la diagonal dominante se despeja cada una de las variables (Ecuaciones de recurrencia)
           • Se propone un vector de inicio (Canonico)
           • El vector de inicio se evalua en las ecuaciones de recurrencia
           • Se repite el proceso hasta que se cumpla con una tolerancia
         • Metodo de Gauss-Seidel
           • 1.Despejar de la diagonal cada una de las variables.
           • 2. Se propone un vector de inicio(canonicos)
           • El vector se evalua en las ecuaciones, conocidos los valores de las variables, estos se pueden utilizar.
           • 4. Se repite el proceso hasta que almenos 1 ecuacion cumpla con lla tolerancia
       • Metodo de descomposicion LU
         • Es una forma de expresar las transformaciones de metodo Gauss-Jordan por ecuaciones matriciales
           • Basado en desomponer una matriz en dos matrices triangulares L y U
           • Version Cholensky O Crout
             • L es una matriz triangular inferior y U una matriz superior.
           • Version Doolitte
             • U es una matriz triangular inferior y L una sperior con ellementos unitarios en la diagonal

3. Tema 3: Interpolacion, derivacion e integracion numericas.

   • Interpolacion
     • Encuentra el valor de la función f(x)de lo cual solo se conoce algunos puntos para algunos valores de x.
       • Los polinomios interpolantes resulta del número de parejas que tengamos en la tabla menos uno.
     • Polinomio Interpolante de Newton
       • Se usa si los espaciamientos en x son iguales
     • Polinomio interpolante de Lagrange
       • Se puede utilizar si el espaciamiento no es constante
   • Derivacion
     • Dada la funcion tabular y=f(x) se obtienen las derivadas en puntos conocidos como "Puntos Pivotes"
       • Se puede representar mediante el polinomio interpolante de Newton
   • Integracion
     • Primer orden: Formula Trapecial
       • Segundo orden (Simpson 1/3, n par)
         • Tercer orden de interpolacion (Simpson 3/8, n multiplo de 3)

4. Tema 4: Solucion numerica de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales

   • Metodo Euler
     • Es el mas sencillo para resolver una ED de primer orden
       • Consiste en integrar la ED por medio de la regla trapecial
   • Metodo Euler Gauss
     • Es un metodo que se ejora al integrar la ED considerando la formula trapecial completa.
       • Se deben considerar el predictor y corrector.
   • Metodo de Runge-Kutta
     • Considera la estructura de los metodos de Euler y Euler Gauss
       • Runge Kutta de segundo orden
       • Runge Kutta de cuarto orden
   • Serie de Taylor
     • La solucion de una ED puede repreentarse por medio de la Serie de Taylor

5. Tema 5: Solucion numerica de ecuaciones en derivadas parciales

   • De acuerdo a los valores de A,B y C la ecuacion de las derivadas parciales se clasifican en:
     • Elipticas
       • Se presentan en problemas del comportamiento de la temperatura en una placa (B^2-4AC<0)
         • Ecuacion de Laplace o ecuacion de calor
         • Ecuacion de Poisson
     • Parabolicas
       • Se presenta en problemas de transmicion de calor en una sola direccion. (B^2-4AC=0)
     • Hiperbolicas
       • Representan el movimiento de una cuerda vibrando, en donde y(t,x) proporciona la distancia perpendicular a la cuerda en el instante t, en la posicion x.

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