Funciones Racionales

Funciones Racionales

1. Definicion

   • es una función que puede ser expresada de la forma
     • Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo, esta fracción es irreducible, es decir que las ecuaciones P(x) = 0 y Q(x) = 0 carecen de raíces comunes. Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.
       • La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

2. Caracteristicas

   • Una función racional es f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible. Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes características observables
     • El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador.
       • Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x).
         • Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia +¥ y la otra a -¥. Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia +¥ o hacia -¥.
           • Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x).
             • Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0.
     • Como:

3. Utilidad

   • tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

4. Como se determinan

   • Verticales
     • Las asíntotas verticales se determinan de la siguiente manera: Se determinan encontrando las raíces del denominador h(x) correspondiente. tales valores reciben el nombre de polos en la función.
       • Entonces el numero de polo asociados en una función determinaran el numero de asíntotas verticales que tiene tal función.
         • Ejemplo: f(x):=4x-4 Sabemos que en los casos en los cuales h(x)=0 , la función se indetermina es decir su valor se tiende a infinito. x-4=0 ; es decir en: x=4 La recta x=4 es la asíntota de esta función, que es única , ya que el denominador es un término lineal lo que implica que solamente en un valor se anula.
   • Horizontales
     • Las asintotas horizontales se determinan de la siguiente manera:
       • Se encuentran presentes únicamente en funciones racionales de la forma f(x)=g(x)/h(x)
         • Y se determinan haciendo que la variable independiente “x” tienda al infinito lo que trae como consecuencia que la función cociente tienda a un valor determinado fijo , al que nunca va a llegar, ni mucho menos sobrepasar.
           • Es decir
             • es la recta dada por el cociente de los coeficientes de grado mayor. Ejemplo: f(x) = (4x+1)x-2 La asíntota vertical se encuentra en el polo de la función que en esta caso está en: X-2=0 X=2 Es decir, la recta x=2 es la asíntota vertical. f(x):=(4x+1)x-2

5. Tipos de asíntotas

   • Una asíntota es una recta a la cual se aproxima indefinidamente una función, sin llegar nunca a tocarla.
     • La palabra asíntota proviene del griego asumptotos que significa sin encontrarse.
       • Verticales
         • k: es el valor real del eje x al que se aproxima la función de forma indefinida, ya sea por la izquierda o por la derecha del mismo. Por ejemplo, -2,0 ó 1. Se dice que la función diverge en x=k f(x): Es la función que presenta la asíntota
           • Gráficamente, las asíntotas verticales se distinguen porque, a medida que nos acercamos a un valor concreto de x, la función "se va" a infinito (o a menos infinito) .
             • Por tanto, para saber si una función presenta asíntotas verticales en un punto, habría que estudiar el límite en él. Basta con que solo uno de los límites laterales exista, para que consideremos x=k una asíntota vertical
   • Oblicuos
     • x→∞: Puede ser también x→-∞ m: Es la pendiente de la asíntota, y por tanto debe ser un valor real distinto de cero, ya que si fuera cero nos encontraríamos ante una recta horizontal n: Es el otro parámetro que define la recta, su ordenada en el origen. Esta vez si puede ser 0, para el caso de las asíntotas que pasan por el origen (0,0) f(x): Es la función que presenta la asíntota
       • Gráficamente, las asíntotas oblicuas se distinguen porque cuando la x se hace infinitamente grande (por la derecha o por la izquierda), la función se aproxima a una recta con cierta pendiente m
   • Horizontales
     • Donde:
       • k: Es el valor real, por ejemplo 3, 0 ó -1, al que se aproxima la función (su coordenada y) cuando la x se hace infinitamente grande, por la derecha (x→∞) o por la izquierda (x→-∞) f(x): Es la función que presenta la asíntota
         • Para a saber si una función presenta asíntotas horizontales, basta calcular los límites anteriores, en infinito y menos infinito, y ver si alguno da un valor real concreto.
           • Gráficamente, las asíntotas horizontales se distinguen porque cuando la x se hace infinitamente grande (por la derecha o por la izquierda), la función se aproxima a un valor concreto.
         • Por tanto

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