Números complejos

Números complejos

1. Forma polar y exponencial

   • Representación
     • Forma polar
       • z = rθ
     • Forma trigonométrica
       • z = r(cos θ + i sen θ)
   • Conversión
     • r = |z| = √(a²+b² ) θ = arctan ⁡(b/a)
     • a = r cos θ b = r sen θ
   • Identidad de Euler
     • Forma exponencial
       • z = reᶿ ͥ
     • eᶿ ͥ = cos ⁡θ + sen ⁡θ

2. Potencias de "i" y valor absoluto

   • Potencia de "i"
     • i² = -1
     • i³ = -i
     • i⁴ = 1
     • i⁵ = i
     • Son cíclicas
   • Valor absoluto
     • |z| = √(a²+b² )

3. Definición y origen

   • Unidad imaginaria
     • i = √(-1)
   • Forma binómica
     • z = a + bi
   • Representación gráfica

4. Ecuaciones polinómicas

   • Primer grado
     • Solución
       • x = -b/a
     • ax + b = 0
   • Segundo grado
     • Solución
       • x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
     • ax² + bx + c = 0
   • De n grados
     • Solución
       • Factorizando, principalmente
   • Siempre se igualan a 0

5. Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces

   • Teroema de Moivre
     • (cos ⁡θ + i sen ⁡θ )ⁿ = cos⁡ (nθ) + i sen ⁡(nθ)
   • Potencia
     • zⁿ = rⁿ (cos (nθ) + i sen⁡(nθ))
   • Extracción de raíces
     • ⁿ √r = ⁿ √r(cos⁡((θ + 2kπ)/n) + i sen⁡((θ+2kπ)/n))
     • Son múltiples raíces

6. Operaciones fundamentales

   • Conjugado
     • = a - bi
   • Inverso
     • = 1/(a + bi)
   • Si
     • z₁ = a + bi y z₂ = c + di
       • Suma y resta
         • z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
       • Multiplicación
         • z₁ ∙ z₂ = (ac - bd) + (ad + cb )i
       • División
         • z₁ / z₂ = (a + bi)(c - di) / |c + di |²

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