Conjuntos Numéricos

Conjuntos Numéricos

1. Números Naturales

   • •Se usan para contar •Se representa por la letra N
     • Operaciones Básicas: •suma, resta, multiplicación y división
       • Asociativa: (3 + 2) + 5 = 5+ 5 = 10 3 + (2 + 5) =3 + 7= 10
         • Conmutativa: 3+2=2+3
           • Elemento Neutro: 3+0=3
             • Inverso aditivo: 3 + (-3) = 0 • El cero no tiene inverso aditivo ya que el mismo es su inverso aditivo
         • Clausurativa: Al operar 2 numeros naturales el resultado que se obtenga, será siempre un número natural 5 + 2 = 7
       • Propiedades
     • N= (1,2,3...N)

2. Números Enteros

   • • Formado por los números naturales y sus opuestos: enteros negativos -4-5-6 y enteros positivos 4,5,6…. • El cero, 0, que no es positivo ni negativo • Se representa por la letra Z
     • Operaciones Básicas: • suma y multiplicación
       • Propiedades
         • asociativa: (6+2)+3=6+(2+3)
           • Conmutativa: 7 +9 = 9 + 7
           • Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a + 0 = a, ejm 2+0 = 2
             • Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, a + (-a) = 0 6+(-6) = 0
     • Z=(-1-2-3...1,2,3)

3. Números Irracionales

   • • No se puede escribir en forma de fracción • El numero Pi y la raíz del número 2 es ejemplo de irracional porque sus decimales no siguen ningún patrón • Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas
     • Operaciones Básicas: •suma •multiplicación •división •potenciación
       • -En la suma se cumplen las propiedades conmutativa y asociativa. Si a y b son dos números irracionales, esto significa que: a + b = b + a. Y si c es otro número irracional, entonces: (a+b) + c = a + (b+c).
         • suma, resta, multiplicación y división no son operaciones bien definidas en los números irracionales, dados dos números irracionales no siempre la suma, resta, multiplicación o división de dichos números resulta un número irracional
       • La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma es otra conocida propiedad que también se cumple para los números irracionales. En este caso: a.(b+c) = a.b + a.c.
         • Propiedades
         • existe un inverso aditivo , para la suma de números irracionales; es decir que para cada número existe su negativo que lo anula, por ejemplo π – π=0 El inverso aditivo de un número irracional, también lo es.

4. Números Racionales

   • • Formado por los enteros y las fracciones •Se representa con la letra Q •Se escribe mediante una fracción •Periódicos: sus decimales son ilimitados •Ilimitados: representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras
     • Q=(1/2, -1-2-3..1,2,3)
       • Operaciones Básicas: •suma , multiplicación, resta y división
         • Propiedades
           • asociativa: (ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)
             • Conmutativa: ab+cd=cd+ab
               • Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da el mismo número. a + 0 = a
                 • Inverso aditivo o elemento opuesto: existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero. ab−ab=0
                 • Distributiva de la multiplicación respecto de la suma 2(4+2)=2*4+2*2= 2(6)=8+4=12

5. Números Reales

   • • Formado por los racionales y los irracionales • Se representa con la letra R • conjunto infinito y no contable
     • Operaciones Básicas: •suma •multiplicación
       • La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
         • La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
           • La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
           • El conjunto R de todos reales, con la adición; es un grupo abeliano. Es una estructura algebraica G que es grupo pero donde la operación binaria es conmutativa
           • La adición es asociativa y conmutativa
       • Propiedades

6. Divisibilidad entre números enteros

   • Un número a es divisible entre otro número si la división entre ellos es exacta, es decir, si a es un múltiplo de b . También se dice que b es divisor de a
   • Ejemplo : 20 = 10*2 donde 20 es multiplo entero de 10, y 10 es un divisor entero de 20 y tambien se denota que 20 se divide entre 10

7. Descomposición en factores primos de un número compuesto

   • Todo número compuesto puede escribirse como multiplicación de dos o más factores primos.
     • Por ejemplo tenemos el 150 que al dividirlo en 2 nos da 75 , luego dividimos 75 en 3 nos da 25 luego este dividido en 4 pero como no se puede pasamos al 5 y nos da 5 y luego ese dividido en su mismo numero nos da 1 quedando asì 150=5*5*3*2= 25*3*2

8. Máximo común divisor

   • se denomina máximo común divisor o MCD al mayor número que divide exactamente a dos o más números a la vez.
     • Por ejemplo: M.C.D. (20, 10) Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 Divisores de 10: 1, 2, 5 y 10 El divisor más alto y común a ambos es el 10, y por tanto, su MCD es 10.

9. Mínimo Común Múltiplo

   • Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes.
     • Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, .... dado lo anterior el m.c.m es 24

10. Potenciación

    • Es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. 7 · 7 · 7 · 7 = 7 elevado a la 4
      • •Está formada por la base la cual es el número que multiplicamos por sí mismo y el exponente el cual es el número de veces por el cual vamos a multiplicar la base
    • Un número elevado a 0 es igual a 1.
    • Un número elevado a 1 es igual a sí mismo.

11. Notación de conjuntos

    • En Teoría de Conjuntos existe una Notación normalizada para definir e identificar conjuntos y sus elementos.
    • reglas generales
      • Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas Los elementos del conjunto se expresan entre llaves
      • se pueden identificar de dos maneras: Conjuntos por extensión: los elementos de un conjunto se muestran explícitamente A = {a, e, i, o, u}
        • Conjuntos por comprensión: los elementos de un conjunto se muestran de manera genérica según sus características A = {vocales} o {x / x es una vocal} B = {1, 2, 3} o { números naturales menor que 4}
          • Las relaciones de pertenencia de un elemento a un determinado conjunto se expresan mediante los símbolos: x ∈ A → el elemento x pertenece al conjunto A x ∉ A → el elemento x no pertenece al conjunto A