Funciones

Funciones

1. Definición

   • Variable
     • Es una literal a la que se le pueden asignar, un número ilimitado de valores; las cuales se designan usualmente con las últimas letras del alfabeto las cuales son p, q, r, s, t, u, w, x, y, z. y algunas letras del alfabeto griego.
   • Es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto X uno y sólo un elemento de un conjunto Y.
     • Al conjunto X se le llama dominio de la función y a sus elementos se les denomina también valores de entrada. La variable "x" es considerada la variable independiente y en el sistema coordenado se suele graficar en el eje horizontal.
     • El conjunto Y recibe el nombre de Contra dominio o Rango de la función y son los valores de salida. La variable "y" es la variable dependiente (depende de "x") y se grafica en el eje vertical, se le considera el valor de la función. Por eso se pone y = f (x)
   • Rango
     • Es el conjunto de valores obtenidos de la función.
   • Dominio
     • Es el conjunto de objetos a los que la función asigna valores.

2. Función real de variable real

   • Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R.

3. Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

   • Función inyectiva
     • si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.
   • Función sobreyectiva
     • si todos los elementos del conjunto final Y tienen al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.
   • Función biyectiva
     • si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única en el conjunto final Y

4. Funciones algebraicas

   • Racionales
     • Es una función que puede ser expresada de la forma: f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo
   • Polinomiales
     • Es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo). Formalmente, es una función: f:x \mapsto P(x)\, donde P(x)\, es un polinomio definido para todo número real x\,; es decir, una suma finita de potencias de x\, multiplicados por coeficientes reales, de la forma: P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n
   • irracional
     • Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical

5. Función implícita.

   • En los casos en los que nuestra variable dependiente no esté expresada sólo en términos de la variable independiente, se tiene una función implícita. Una expresión equivalente a es . Esta expresión no nos presenta a y en términos de x, por lo que en este caso tenemos a la función definida de manera implícita.
   • Una función en la que la variable dependiente se expresa ÚNICAMENTE en términos de la variable independiente es una función explícita. La forma de estas funciones es y = f(x), y al derivarlas, la idea es encontrar y’.
     • https://www.youtube.com/watch?v=AKR9YaBNius

6. Función inversa.

   • Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a. La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números reales. Unicamente se usa como notación de la función inversa.

7. Operaciones con funciones

   • Adición
     • Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g.
   • Multiplicación
     • Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama multiplicación o producto de una función de f y g, y se define por:
   • División
     • Sean dos funciones f y g es otra función f /g, cuyas imágenes se obtienen dividiendo las imágenes de f y g, siempre que la imagen de g sea distinto de 0.
   • Composición
     • Dos funciones se juntan para producir un resultado, por ejemplo: f actué sobre 'x' para producir f(x) y luego g actué sobre f(x) o también llamada función composición que se representa g(f(x)).

8. Funciones trascendentes

   • Trigonométricas
     • Se llaman funciones exponenciales las que tienen la ecuación y = a x , siendo la base a un número positivo distinto de 1
   • Logarítmicas
     • Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c1 < c2 < ... < cn, y en cada intervalo ]ck, ck+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos ck.
   • Exponenciales
     • Se llaman funciones logarítmicas las que tienen la ecuación y = log a x, siendo a un número positivo distinto de 1 y = log a x  x = a y , por tanto y = log a x e y = a x son funciones inversas

9. Funciones escalonadas.

   • Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c1 < c2 < ... < cn, y en cada intervalo ]ck, ck+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos ck.

10. Otro tipo de funciones.

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