FUNCIONES

FUNCIONES

1. DEFINICION

   • es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el contradominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del contradominio f(x).
     • TIPOS DE FUNCIONES
       • FUNCIONES POLINÓMICAS
         • es una función cuya expresión es un polinomio, son continuas en todo su dominio y pueden clasificarse en diferentes tipos según el grado del polinomio.
           • CONSTANTES
             • son funciones polinómicas de grado 0 (pues 0 es el coeficiente de x). No dependen de la variable independiente x.
               • AFíN
                 • Una función afín es una función polinómica de primer grado que no pasa por el origen de coordenadas, m es la pendiente de la recta, n es la ordenada, es decir, el punto donde la recta corta el eje de ordenadas.
                   • LINEAL
                     • es una función polinómica de grado 1 que pasa por el punto (0,0), Si la m es positiva, es función creciente. En cambio, si m es negativa, es función decreciente.
                       • IDENTIDAD
                         • es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo
                           • CUADRATICAS
                             • es una función polinómica de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x2), Son a, b y c valores constantes, Si el escalar a > 0, la parábola se abre hacia arriba. En cambio, si a < 0, la parábola se abre hacia abajo
                               • CUBICAS
                                 • es una función polinómica de grado 3, es decir, que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3 (x3), Una función cúbica puede tener tres, dos o una raíz. Las raíces de una función son los elementos del dominio tal que su imagen es nula (f(x) = 0).
                                   • FUNCIÓN RACIONAL
                                     • son el cociente irreducible de dos polinomios (para ello, no deben tener las mismas raíces), P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador (La variable x debe de estar en el denominador), En todas las funciones racionales en las que el grado del polinomio del numerador P(x) sea el mismo que grado del del denominador Q(x), existe una asíntota horizontal
                                       • PROPORCIONALIDAD INVERSA
                                         • se establece entre una variable independiente x y una variable dependiente y, de tal forma que el producto de ambas es siempre igual a una constante k. Es decir: x × y = k. Esta relación puede expresarse a modo de una función real de variable real, llamada función de proporcionalidad inversa
                                           • RADICAL
                                             • Una función radical es la que la variable dependiente se obtiene de una raíz que alberga en el radicando a la variable independiente x, cuando el índice de la raíz n es par, el dominio de la función son los valores de x que hacen al radicando cero o mayor que cero pero cuando el índice es impar, el dominio son los números reales.
                                               • INVERSA
                                                 • Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y).La función inversa es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X.
                                                   • TRANSCENDENTES
                                                     • es la que la variable independiente x se encuentra en el exponente, el índice de una raíz, en un logaritmo o en una función trigonométrica. Para una función trascendente no basta con operaciones algebraicas, sino que se requieren cálculos como derivadas, integrales, trigonometría, etc. Son funciones trascendentes las exponenciales, las potenciales exponenciales, logarítmicas o las trigonométricas.
                                                       • EXPONENCIAL
                                                         • es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a, siendo a un real positivo, a > 0, y a ≠ 1.
                                                           • LOGARÍTMICA
                                                             • está formada por un logaritmo de base a, siendo a un real positivo, a > 0, y a ≠ 1, La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
                                                               • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
                                                                 • las funciones trigonométricas son las funciones establecidas. Estas usualmente incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos, tal como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
                                                                   • SENO
                                                                     • El seno de un ángulo de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, Su abreviatura son sen o sin. su Dominio son todos los reales mientras que su Rango es de [-1,1].
                                                                       • COSECANTE
                                                                         • La cosecante es la razón trigonométrica recíproca del seno, La cosecante del ángulo de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, Su abreviatura es csc. Su Dominio son todos los reales (excepto π) el cual es una asíntota mientras que el Rango [-&, -1] U [1, &].
                                                                   • COSENO
                                                                     • El coseno de un ángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, Su abreviatura es cos. Su Dominio son todos los reales mientras que su Rango es de [-1,1].
                                                                       • SECANTE
                                                                         • La secante es la razón trigonométrica recíproca del coseno, La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo o cateto adyacente, Su abreviatura es sec. Su Dominio son todos los reales (excepto π/2) el cual es una asintota mientras que su Rango [-&, -1] U [1,&].
                                                                   • TANGENTE
                                                                     • La tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, Su abreviatura es tan. Su Dominio son todos los reales (excepto π/2) el cual es una asíntota mientras que su Rango si son todos los reales.
                                                                       • COTANGENTE
                                                                         • La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de la tangente, La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente y el cateto opuesto, Su abreviatura es cot. Su Dominio son todos los reales (excepto π) el cual es una asíntota mientras que el Rango si son todos los reales.
                                                                           • FUNCIONES DEFINIDAS EN TROZOS
                                                                             • si la función tiene distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x), La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo se encuentra x.
                                                                               • EJEMPLO
                                                                                 • FUNCIONES DERIVADAS
                                                                                   • La función derivada f’ de una función f que sea derivable en un intervalo I es una nueva función que hace corresponder para cada valor de x ∈ I el valor de la derivada de f en ese punto, f’ recoge todos los valores de las derivadas de f existentes en todos los puntos de su dominio. Puede ocurrir que f no tenga derivada en todo su dominio. En ese caso, el dominio de la función derivada f’ es más pequeño que el dominio de f.
                                                                                     • FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS
                                                                                       • INYECTIVAS
                                                                                         • es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y.
                                                                                           • EJEMPLO
                                                                                       • SOBREYECTIVA
                                                                                         • es sobreyectiva si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde, una función es sobreyectiva cuando son iguales su contradominio y su dominio.
                                                                                           • EJEMPLO
                                                                                             • FUNCIONES IMPLíCITAS Y EXPLíCITAS
                                                                                               • IMPLíCITAS
                                                                                                 • Una función implícita es aquella que está expresada de forma que la variable dependiente y no está despejada. Es decir, que Y no está definida en función solo de la variable independiente x.
                                                                                                   • EJEMPLO
                                                                                               • EXPLíCITAS
                                                                                                 • Una función explícita es aquella que está expresada de forma que la variable dependiente está despejada. Es decir, y = f(x).
                                                                                                   • EJEMPLO
                                                                                                     • FUNCION VALOR ABSOLUTO
                                                                                                       • La función valor absoluto devuelve el valor numérico del segundo término, pero afectado siempre del signo positivo. La expresión más simple es f(x) = |x|, Una función valor absoluto se puede desplazar por el eje de las X con esta forma f(x) = |x ±k| (si k va con signo más , se desplaza hacia la izquierda; si k va con signo menos, se desplaza hacia la derecha), por ultimo se puede desplazar verticalmente con esta forma: f(x) = |x|± k (si k va con signo más, se desplaza hacia arriba; si k va con signo menos, se desplaza hacia abajo.
                                                                                                         • f(x) = |x|
                                                                                                         • f(x) = |x ±k|
                                                                                                         • f(x) = |x|± k
                                                                                       • BIYECTIVA
                                                                                         • es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y.
                                                                                           • EJEMPLO

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