VECTORES

VECTORES

1. El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones (extensión de los números reales) 1, i, j, y k, así como también de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían de instrumento para representar varios fenómenos físicos.

   • El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
     • Geométricamente
       • Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos.
     • Analíticamente
       • La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas.
         • Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son segmentos de recta en los que su extremo final es la punta de una flecha. Estos son determinados por su módulo o longitud del segmento, su sentido que es indicado por la punta de su flecha y su dirección de acuerdo con la recta a la que pertenezca. El origen de un vector es también conocido como el punto de aplicación.
           • elementos de un vector
             • Módulo
               • Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un vector, representada por un número real junto con una unidad.
             • Dirección
               • Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del positivo) y el vector, así como también se utilizan los puntos cardinales (norte, sur, este y oeste).
             • Sentido
               • Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo del vector, indicando hacia dónde se dirige este.
     • Axiomáticamente
       • Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica.
   • Magnitudes Escalares y Vectoriales
     • Las magnitudes físicas que se representan mediante el valor de una única cantidad se denominan escalares. Ejemplo: volumen, densidad, temperatura.
     • No todas las magnitudes físicas son de tipo escalar. Para otras, es necesario especificar también la dirección. Ejemplo: el desplazamiento; necesitamos especificar el camino recorrido y la dirección en que lo hemos hecho.
     • El álgebra de las magnitudes escalares y vectoriales es muy diferente. Si sumamos dos volúmenes iguales, obtenemos el doble del volumen inicial. Si nos movemos 50m dirección N y luego otros 50m dirección S, volvemos al punto inicial.

2. Hay muchas magnitudes físicas que tienen intensidad (o módulo) y dirección, como por ejemplo la velocidad o la fuerza. Los vectores se usan para representar las magnitudes de este tipo, y el álgebra de vectores para manejarlas y hacer cálculos con ellas.

   • se usan vectores de distintos tipos
     • Vector deslizante
       • Puede considerarse en cualquier posición dentro de una recta ("recta de acción"). Dos vectores de igual módulo y sentido sobre la misma recta, son el mismo vector deslizante.
     • Vector ligado
       • Está asociado a un determinado punto del espacio (punto de aplicación).
     • Vector libre
       • no se considera asociado a ningún punto ni recta particular.
         • Un sistema de vectores es un conjunto cualquiera de vectores del mismo tipo. Por tanto, hay sistemas de vectores ligados, deslizantes y libres. Siempre hay que tener en cuenta que el uso de uno u otro tipo de vectores está en función de su utilidad para el problema en consideración.

3. Las operaciones más comunes con vectores son las siguientes:

   • Adición de vectores
   • Producto de un vector por un escalar
   • Producto escalar de dos vectores
   • Producto vectorial de dos vectores
   • Operaciones con vectores
     • Existen muchas magnitudes que tienen módulo, sentido y dirección, como aceleración, velocidad, desplazamiento, fuerza, entre otros. Estas son aplicadas en diversas áreas de la ciencias, y para aplicarlas se hace necesario en algunos casos realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división de vectores y escalares.
       • Suma y resta de vectores La suma y resta de vectores es considerada una sola operación algebraica porque la resta puede ser escrita como una suma
         • Existen diferentes métodos para realizar la suma y resta de vectores: pueden ser gráficos o analíticos.
           • Métodos gráficos
             • Utilizados cuando un vector posee módulo, sentido y dirección. Para ello se trazan líneas que forman una figura que posteriormente ayudan a determinar la resultante.
               • Método del paralelogramo
               • Método del triángulo
           • Métodos gráficos
             • Utilizados cuando un vector posee módulo, sentido y dirección. Para ello se trazan líneas que forman una figura que posteriormente ayudan a determinar la resultante.
               • Método del paralelogramo