FUNCIONES

FUNCIONES

1. CONCEPTO

   • Una función es una relación entre 2 variables (x e y) que asocia a cada valor de la x un único valor de la y.  Y=f(x)
   • Formas de expresión
     • Tabla de valores
     • Expresión algebraica
       • FUNCIONES DADAS SEGÚN UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
         • Polinómicas
           • El dominio es siempre todo R. Son todos los polinomios.
         • Racionales
           • Son todas las fracciones. Se sacan todos los valores del denominador y el dominio va a ser todo R excepto esos valores.
         • Irracionales
           • Son del tipo f(x)=√g(x) siendo par el exponente de la raíz. G(x) debe ser siempre≥0 puesto que las raíces negativas no tienen solución.  Se saca  lo que hay dentro de la raíz y de ahí sus valores. Una vez que se tienen, se resuelve la inecuación representándola en una recta y se pone desde donde hasta donde predomina el dominio.
         • Logarítmicas
           • Se da en todos los logaritmos. F(x)=log a [g(x)]  a>0 , a≠1 y g(x)>0 Se coge todo eliminando el logaritmo y se sacan los valores. Se resuelve la inecuación representándose en una recta y se pone desde donde hasta donde va el dominio.
     • Gráfica
     • Descripción verbal

2. DOMINIO

   • Para calcular el dominio de una función, debemos obtener los valores de x para los que exista esa función.

3. RECORRIDO

   • Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y.

4. COMPOSICIÓN

   • Con las funciones f y g, se llama función compuesta de f y g y se designa por g 0 f a la función que transforma x en g [f(x)].  g(f(x))= g o f(x) EJEMPLO:  f(x)=x² y g(x)=x-3 g o f(x)= g(f(x))=g(x²)=x²-3 f o g(x)= f(g(x))=f(x-3)=(x-3)²=x²-6x+9
   • Propiedades
     • La composición no es conmutativa (f o g)≠(g o f) La composición es asociativa      f o(g o h)=(f o g)o h

5. FUNCIÓN INVERSA

   • Se dice que g es la función inversa de f. Se pone: g=f⁻¹o f=g⁻¹
   • Propiedades
     • La gráfica de una función y la de su inversa son simétricas respecto de la recta y=x (bisectriz del 1er y 3er cuadrante). Para que una función tenga inversa no puede haber dos valores de x que tengan la misma. Por ejemplo:  si x=2 e y=4, si x=3, y≠4
     • Cálculo
       • Se despeja x y una vez que esté despejada, se intercambia la x por la y la x por la y. Por último, se intercambia la y por f⁻¹(x). EJEMPLO: Tenemos f(x)=3x+1 Despejamos x y nos queda  x=y-1 partido de 3. Sustituimos por y: y=x-1 partido 3. Sustituimos y por f⁻¹: f⁻¹(x)=x-1 partido de 3. f⁻¹.

6. FUNCIÓN IDENTIDAD

   • Su gráfica es la bisectriz del 1er y del 3er cuadrante. Función g o f(x)=Id EJEMPLO: f(x)=3x+1 y g(x)=x-1 partido 3 g o f(x)=g(f(x))= g(3x+1)= (3x+1)-1 partido de 3= 3x partido 3=x. Por lo tanto g o f=Id   Id(x)=x

7. FUNCIONES ELEMENTALES

   • Polinómicas de grado 1 y 0
     • Son rectas. En las de grado 0 f(x)=k siendo k un número real. Es una recta horizontal y paralela al eje ox   y=k f(x)=mx+n que es una recta. Si m>0 la recta es creciente. Si m<0 la recta es decreciente. Si m≠0   y=mx función lineal. Si n=0 y=-x se llama función lineal y es recta que pasa por (0,0)
     • Y=n
       • Constante Recta horizontal
     • y=mx+n
       • Afín Recta
     • y=mx
       • Lineal Recta que pasa por origen
   • Cuadráticas
     • Son polinomios. f(x)=ax²+bx+c siendo a≠0 Su representación gráfica es una parábola. Si a>0 la parábola va hacia arriba Si a<0 la parábola va hacia abajo
     • Cálculo
       • Se calcula el vértice que es  x=-b partido de 2a. Se dan valores a x e y  se representan en una gráfica. Es muy importante calcular los puntos simétricos.
   • De proporcionalidad inversa
     • Son hipérbolas. La funciones y=k partido x (k≠0) tienen una asíntota horizontal y otra vertical.  Si k>0 se representan en el 1er y 3er cuadrante. Si k<0 se representan en el 2º y 4º cuadrante.
   • Funciones raíz
     • Son de forma y=√kx siendo k≠0 Son crecientes.
   • Exponenciales
     • f(x)=a elevado a x. a>0 y a≠1 El dominio es todo R. Toman valores siempre positivos y tienen una asíntota horizontal. Si a>0 es creciente. Si a<0 es decreciente. El eje ox (y=0) es asíntota en +∞ para cualquier a. Todas pasan por el (0,1) ya que a=1 para cualquier valor de a.
   • Logarítmicas
     • Es la inversa de la exponencial. Si a>1 es creciente. Si a <1 es decreciente. Todas las gráficas pasan por el (1,0). El eje OY(X=0) es asíntota vertical.

8. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

   • Se resuelven por separado todas las inecuaciones. Se dan valores a x y a y y se representan en la recta. Es importante saber que si hay dos puntos en el mismo sitio, uno de ellos no debe estar relleno porque sino no sería una función. Si nos dan un polinomio, seguimos el mismo procedimiento que seguimos con la parábola.

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