Conceptualización de vectores, matrices y determinantes

Conceptualización de vectores, matrices y determinantes

1. Vectores

   • Expresión algebraica de un vector
     • Es un conjunto de elementos ordenados en renglón o columna. Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a,b).
       • Los números a y b se conocen como las componentes del vector v.
   • Norma
     • Es la distancia (en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan al vector.
   • Ángulos directores
     • Se llaman ángulos directores a los cosenos de los ángulos que la misma forma con las direcciones positivas de los ejes x, y, z respectivamente (ángulos directores).
   • Vectores Unitarios
     • Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1
       • Puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje.
   • Propiedades de los vectores
     • Propiedad conmutativa
       • Es la propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma.
         • Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, A+B = B+A.
     • Propiedad asociativa
       • Es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la resultante (la suma).
         • Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, (A+B)+C = A+(B+C).
     • Propiedad distributiva
       • Es la propiedad que relaciona la multiplicación y la suma.
         • Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, k(A+B) = kA+kB.
     • Propiedad del inverso aditivo
       • Es la propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero.
         • Sean A y -A dos vectores cualesquiera entonces, A+(-A) = 0
     • Otras propiedades de los vectores
       • Origen
         • También conocido como punto de aplicación. Se trata del punto con exactitud en donde el vector llega a actuar.
       • Dirección
         • Representa la orientación en el espacio de la recta que lo posee.
       • Módulo
         • Representa el tamaño o la longitud del vector.
       • Sentido
         • Este llega a indicar la dirección hacia donde el vector se dirige con relación a la línea de acción.
   • Operaciones básicas con vectores
     • Suma de vectores
       • Es la unión de vectores a través de juntar la parte delantera de un vector con la parte trasera del otro y cumple con la propiedad conmutativa
         • El resultado de esta unión será la suma del vector p y del vector r, indicada por el vector de color negro p + r. Tal que
       • La operación de suma de dos o más vectores da como resultado otro vector.
     • Resta de vectores
       • La operación de resta de dos o más vectores da como resultado otro vector.
         • Está dada por:
     • Producto de vector por escalar
       • El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero.
   • Vectores base
     • Cualesquiera vectores elegidos cuya combinación lineal es capaz de representar a cualquier vector en un sistema dado.
     • Base vectorial
       • Dos vectores u y v con distinta dirección forman una base,
         • Las coordenadas del vector respecto a la base son:
         • Porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.
   • Producto Punto
     • Es una operación que da como resultado un número real.
       • Una forma de definir esta operación es por medio de multiplicar el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman.
         • esto es
   • Producto cruz
     • El producto vectorial u X v de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores
       • Su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v.
         • Su módulo es igual
     • El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

2. Matrices

   • ¿Qué es?
     • Son todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
       • Una matriz A de m filas y n columnas podemos denotarla como
   • Tipos de matrices
     • Matriz fila
       • Una matriz fila está constituida por una sola fila.
     • Matriz rectangular
       • La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.
         • Siendo m el numero de filas y n el numero de columnas.
     • Matriz columna
       • La matriz columna tiene una sola columna.
     • Matriz traspuesta
       • Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
         • La matriz transpuesta cumple las siguientes propiedades:
     • Matriz nula
       • En una matriz nula todos los elementos son ceros.
     • Matriz cuadrada
       • La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas, siendo su dimensión n x n
       • Tipos de matrices cuadradas
         • Matriz triangular superior
           • En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
         • Matriz triangular inferior
           • En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
         • Matriz diagonal
           • En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.
         • Matriz escalar
           • Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
         • Matriz identidad o unidad
           • Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
         • Matriz regular
           • Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
         • Matriz singular
           • Una matriz singular no tiene matriz inversa.
         • Matriz idempotente
           • Una matriz, A, es idempotente si:
             • A² = A
               • Es decir, las potencias de una matriz idempotente, siempre darán como resultado la misma matriz
         • Matriz involutiva
           • Una matriz, A, es involutiva si:
             • A 2 = I.
         • Matriz simétrica
           • Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
           • Una matriz cuadrada es simétrica cuando los elementos a ambos lados de la diagonal principal son iguales.
         • Matriz antisimétrica o hemisimétrica
           • Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
           • Matriz cuadrada en la que los elementos a ambos lados de la diagonal principal son opuestos (iguales pero con distinto signo).
             • (Los elementos de la diagonal principal deben ser cero)
         • Matriz ortogonal
           • Una matriz es ortogonal si verifica que:
         • Matrices normales
           • Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA.
             • Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal
         • Matrices escalonadas
           • Una matriz es escalonada si al principio de cada fila (o columna) un elemento nulo mas que en la fila (o columna) anterior
             • Es una matriz escalonada por filas
             • Es una matriz escalonada por columnas
         • Matrices escalares
           • Una matriz es escalar si es diagonal y además todos los elementos de la diagonal son iguales
             • es una matriz escalar
   • Operaciones con matrices
     • Sumas y restas
       • La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión.
     • Multiplicación
       • La multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación.
     • División
       • La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.
         • También podemos dividir una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.
           • Cada elemento de la matriz queda dividido por el escalar z=2.
   • Operaciones elementales sobre matrices
     • Son aquellas transformaciones que como resultado tienen guardada la equivalencia de matrices
       • Se utilizan en el método de Gauss para darle a una matriz el aspecto triangular o escalonado.
     • A las operaciones elementales de las filas pertenecen:
       • Transposición entre dos filas cualquieras de una matriz.
       • Multiplicación de cualquier fila de una matriz por una constante no nula.
       • Adición a cualquier fila de una matriz otra fila multiplicada por un número no nulo.
       • Analógicamente se determinan las operaciones elementales de las columnas.
   • Matriz traspuesta
     • Es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.
     • Propiedades de la matriz traspuesta
       • Dada la matriz Z anterior,
         • La traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original.
         • La suma traspuesta de matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas.
         • El producto traspuesto de una constante h por una matriz es igual al producto de la constante h por la matriz traspuesta.
         • El producto traspuesto de la multiplicación de matrices es igual al producto de la multiplicación de matrices traspuestas.
   • Matriz inversa
     • Producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.
       • Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos:
         • El método de Gauss
         • El método por cálculo de determinantes.
     • Propiedades de la matriz inversa

3. Determinantes

   • Determinantes n x n
     • El determinante de una matriz A de n x n es la suma de los productos de los elementos del primer renglón por sus cofactores
       • A estas ecuaciones se les llama expansión por cofactores de |A|
   • Propiedades de los determinantes
     • El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^{t} son iguales
     • • Posee dos filas (o columnas) iguales.
       • Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.
       • Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.
     • Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
     • Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.
     • Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.
     • Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.
     • Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos,
       • dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.
     • • El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
   • ¿Qué es?
     • Es el valor de la suma de determinados productos que se realizan con los elementos que componen la matriz.

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