Base do Espaço Vetorial

Base do Espaço Vetorial

1. Vetores Ortogonais

   • Os vetores não nulos u e v são ortogonais se existe um representante (A, B) de u e um representante (C, D) de v tais que AB e CD são ortogonais.
   • O vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor.
   • Os vetores u e v são ortogonais se, e somente se, ||u + v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2

2. Os vetores u = (a_1, b_1, c_1) e v = (a_2, b_2, c_2) são LD se, e somente se, a_1,b_1, c_1 e a_2, b_2, c_2 são proporcio nais ou, equivalentemente os determinantes são todos nulos.

   • Os vetores u = (a_1, b_1, c_1), v = (a_2, b_2, c_2) e w = (a_3, b_3, c_3) são LD se, e somente se, o determinante for nulo.

3. Uma sequência E = (e_1, e_2, e_3) linearmente independente chama-se base vetorial tridimensional denotada por V^3.

4. Dado um vetor como u, como E (e_1, e_2, e_3) é LI o vetor u é gerado por e_1, e_2, e_3 , ou seja, existem números reais (escalares) a_1, a_2, a_3 tal que: u = a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3

5. Base ortonormal

   • Seja (e_1, e_2, e_3) uma base ortonormal. Se u = ae_1 + be_2 + ye_3 então ||u|| = raiz quadrada de a^2 + b^2 + y^2
   • Uma base (e_1, e_2, e_3) é ortonormal se e_1, e_2, e_3 são unitários e dois a dois ortogonais.