Análisis combinatorio

Análisis combinatorio

1. Por Victoria García Barrios

2. Principios fundamentales del análisis combinatorio.

   • Principio de multiplicación.
     • Establece que, si una decisión (d1) puede ser tomada de n maneras y otra decisión (d2) puede tomarse de m maneras, el número total de maneras en las que pueden ser tomadas las decisiones d1 y d2 será igual a multiplicar de n*m.
       • Por ejemplo. Si tienes 3 camisas diferentes y 2 pantalones diferentes, el número total de combinaciones diferentes de atuendos que puedes formar es 3 (camisas) * 2 (pantalones) = 6 atuendos.
   • Principio de adición.
     • Si dos eventos m y n no pueden ocurrir al mismo tiempo, el número de formas como puede ocurrir el primer o segundo evento, será la suma de m + n.
       • Por ejemplo. Si puedes llegar a tu trabajo de dos maneras diferentes, caminando o en bicicleta, y deseas contar el número total de rutas diferentes para llegar al trabajo, simplemente sumas las dos opciones: 1 (caminar) + 1 (en bicicleta) = 2 rutas en total.

3. Variaciones.

   • Variaciones sin repetición.
     • Se aplica cuando eliges elementos sin reemplazo. Se calcula como V(n, k) = n! / (n - k)!, donde "n" es el número total de elementos y "k" es la cantidad que deseas elegir.
       • Por ejemplo. Deseas elegir a 3 estudiantes de una clase de 10 para formar un equipo. El número de maneras en que puedes hacerlo es una variación sin repetición, y se calcula como V(10, 3) = 720 formas diferentes.
   • Variaciones con repetición.
     • Se usa cuando puedes repetir elementos en la elección. Se calcula como n^k, donde "n" es el número de opciones en cada elección y "k" es la cantidad de elecciones.
       • Por ejemplo. Si deseas generar todas las posibles contraseñas de 4 dígitos utilizando los números del 0 al 9, estarías calculando una variación con repetición. Hay 10 opciones para cada dígito, y puedes repetir los números. El número total de contraseñas sería 10^4 = 10,000.

4. Permutaciones.

   • Permutación sin repetición.
     • Se usa cuando deseas ordenar elementos diferentes. Se calcula como P(n, k) = n! / (n - k)!, donde "n" es el número total de elementos y "k" es la cantidad de elementos a permutar.
       • Por ejemplo. Si tienes 5 libros diferentes y deseas organizarlos en un estante de una manera específica, el número de permutaciones diferentes se calcula como P(5, 5) = 120 formas diferentes.
   • Permutaciones circulares.
     • Se aplica cuando deseas calcular el número de formas en que elementos se pueden ordenar alrededor de un círculo. Para "n" elementos, es (n-1)!.
       • Por ejemplo. Tienes 5 amigos y deseas calcular el número de formas en que pueden sentarse alrededor de una mesa circular. El número de permutaciones circulares es (5-1)! = 4! = 24 formas.
   • Permutación con repetición.
     • Se utiliza cuando hay elementos repetidos. Se calcula como P(n; n1, n2, ..., nk) = n! / (n1! * n2! * ... * nk!), donde "n" es el total de elementos y "n1, n2, ..., nk" son las repeticiones de elementos idénticos.
       • Por ejemplo. Si deseas encontrar el número de anagramas posibles para la palabra "MATE", que contiene 4 letras diferentes, el número de permutaciones con repetición se calcula como P(4, 4) = 4! = 24 anagramas diferentes.

5. Combinaciones.

   • Combinaciones sin repetición.
     • Se utiliza para seleccionar elementos sin importar el orden. Se calcula como C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), donde "n" es el número total de elementos y "k" es la cantidad que deseas elegir.
       • Por ejemplo. Si tienes 6 libros y deseas elegir 2 para llevar contigo de viaje, el número de combinaciones diferentes se calcula como C(6, 2) = 15 formas de elegir los libros.
   • Combinaciones con repetición.
     • Se aplica cuando puedes repetir elementos. Se calcula como C(n + k - 1, k), donde "n" es el número total de elementos y "k" es la cantidad que deseas elegir.
       • Por ejemplo. Deseas repartir 10 dulces idénticos entre 3 amigos. El número de formas diferentes de hacerlo se calcula como C(10+3-1, 3) = C(12, 3) = 220 formas diferentes.