Extremos de funciones en varias variables

Extremos de funciones en varias variables

1. Una función z= f(x,y) tiene un máximo (mínimo) en un punto P(Xo,Yo) si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P. Si una función diferenciable z= f(x,y) alcanza un extremo en el punto P(Xo,Yo) entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:

   • Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.

2. Ejemplo #1 Ubicación de las ciudades representadas en el plano cartesiano

   • Una empresa desea construir un aeropuerto que debe prestar servicio a 4 ciudades cercanas, estableciendo un eje de coordenadas dichas ciudades se ubican en los puntos (20,5) (0,30) (-30,-10) y (-5,-5) tal que las coordenadas representan los kilometros a partir del origen. ¿Cuál es el punto óptimo en el cual debe ubicarse el aeropuerto?
     • Si se conocen dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) y se desea determinar su distancia la misma se puede calcular mediante la siguiente expresión:
       • En base al teorema de Pitágoras se encuentran expresiones para el cuadrado de las distancias que separan las ciudades del aeropuerto y al sumar las correspondientes a los 4 aeropuertos se obtiene
         • Para encontrar los puntos críticos se determinan las primeras derivadas en función de x y de y
           • Igualando ambas derivadas a cero se obtienen los valores críticos
             • Luego para determinar la naturaleza del punto crítico se aplica la prueba del punto crítico
               • Se calculan las segundas derivadas en función tanto de x como de y
                 • Se calcula el discriminante
                   • Como D(x*,y* ) es mayor que cero y

3. Ejemplo #2

   • Se desea fabricar un depósito de hojalata de 500 litros de capacidad, con forma de paralelepípedo abierto y fondo cuadrado.Cuales deben ser sus de ser sus dimensiones para que la cantidad de hojalata empleada sea mInima?
     • Estudiamos la función y su derivada
       • Obtenemos los candidatos a extremos
         • Estudiamos el único candidato utilizando el método de la derivada segunda

4. Ejemplo #3

   • Hay que contruir un conducto para agua desde el punto P al punto S y debe atravesar regiones dende los costos de construcción difieren. El costo por kilómetro de 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R a S.Hallar x y y tales que el costo total C se minimice.
     • Determinar la ecuación del Costo con respecto a “x” e “y”.
       • Hallar los Puntos Críticos, haciendo que las derivadas parciales sean “0”.
         • Hacemos el Hessiano.
           • Analizamos cada punto crítico en el Hessiano.
             • Reemplazamos los puntos críticos en la función original.
               • Al final, se deduce por todos los paso realizados que, los únicos valores que hacen que la función Costo se minimice son,
               • Como se observa los puntos críticos P1 y P2, ambos representan ser mínimos relativos, ahora para poder hallar cuál de estos 2 puntos es el absoluto, reemplazamos estos puntos en la ecuación original.

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