"Calculo Vectorial"

"Calculo Vectorial"

1. "UNIDAD 1"

   • Vectores en el espacio
     • • Un vector o vector de desplazamiento puede considerarse como una flecha que conecta dos puntos A y B en el espacio. La cola de la flecha se llama punto inicial y la punta de la flecha se denomina punto final.
       • ¿Qué es un escalar?
         • Un escalar es simplemente un número real y se representa mediante una letra itálica minúscula a, k o x. Los escalares se usan para representar magnitudes y pueden tener unidades específicas asociadas.
       • Vector de posición
         • • El vector que se muestra en la siguiente figura, cuyo punto inicial es el origen O y cuyo punto final es 𝑷(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) recibe el nombre de vector de posición del punto P
   • Algebra vectorial
     • Definición
       • Sean 𝒂 = 𝒂𝟏, 𝒂𝟐 y 𝒃 = 𝒃𝟏, 𝒃𝟐 vectores en el espacio bidimensional.
         • • Sean 𝒂 = 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑 y 𝒃 = 𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑 vectores en el espacio tridimensional.
             • • Magnitud, longitud o norma
                 • Con base en el teorema de Pitágoras y la siguiente figura, definimos la magnitud, longitud o norma de un vector 𝒂 = 𝒂𝟏, 𝒂�
   • PRODUCTO ESCALAR
     • El producto escalar, definido a continuación, se conoce también como producto punto o producto interior. El producto escalar de dos vectores a y b se denota mediante 𝒂 ∙ 𝒃 y es un número real, o escalar, definido en términos de las componentes de los vectores.
   • PRODUCTO VECTORIAL
     • El producto vectorial o producto cruz, sólo está definido para vectores en el espacio tridimensional y genera otro vector en el espacio tridimensional. Es importante tomar en cuenta el concepto de determinante para la aplicación del producto vectorial.
   • Distancia entre dos puntos
     • la distancia entre dos puntos 𝑷𝟏(𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) y 𝑷𝟐(𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐) en el espacio tridimensional, vamos a considerar sus proyecciones sobre el plano xy. Como se puede observar en la siguiente figura y siguiendo la fórmula de la distancia entre dos punto en el plano
       • • • punto medio del segmento de recta en el espacio tridimensional que conecta los distintos puntos 𝑷𝟏(𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) y 𝑷𝟐(𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐)

2. "UNIDAD 2"

   • Ecuaciones paramétricas
     • Una ecuación rectangular o cartesiana no es la única manera, y a menudo la más conveniente, de describir una curva en el plano de coordenadas.
       • Curva plana
         • Si 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas definidas sobre un intervalo común 𝐼, entonces 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔(𝑡) se llaman ecuaciones paramétricas y 𝑡 recibe el nombre de parámetro. El conjunto 𝐶 de pares ordenados (𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 ) cuando 𝑡 varía sobre 𝐼 se denomina curva plana.
   • Longitud de arco
     • Si 𝑥 = 𝑓(𝑡) y 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, define a una curva suave 𝐶 que no se interseca a sí misma en 𝑎 < 𝑡 < 𝑏, entonces la longitud 𝐿 de 𝐶
   • Derivada de una curva en forma paramétrica Tangentes a una curva
     • Si 𝒙 = 𝒇 𝒕 , 𝒚 = 𝒈(𝒕) define una curva suave 𝐶, entonces la pendiente de una recta tangente en un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) sobre 𝐶 es
   • Curvas planas y graficación en coordenadas polares
     • un sistema de coordenadas polares empleamos un sistema de círculos centrados en un punto O, denominado polo, y líneas rectas o rayos que emanen de O. Tomamos como eje de referencia una media línea horizontal dirigida hacia la derecha del polo, a la cual se le nombra eje polar
       • Los ángulos 𝜃 > 0 se miden en el sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del eje polar, en tanto que los ángulos 𝜃 < 0 se miden en el sentido de las manecillas del reloj.
         • Para graficar un punto (−𝑟, 𝜃), donde −𝑟 < 0, se miden |𝑟| unidades a lo largo del rayo 𝜃 + 𝜋.
         • Las coordenadas del polo O son (0, 𝜃), donde 𝜃 es cualquier ángulo
   • Derivada de una curva en forma paramétrica
     • Si 𝒙 = 𝒇 𝒕 , 𝒚 = 𝒈(𝒕) define una curva suave 𝐶, entonces la pendiente de una recta tangente en un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) sobre 𝐶 es
   • Gráficas de ecuaciones polares
     • La gráfica de una ecuación polar 𝑟 = 𝑓(𝜃) es el conjunto de puntos P con al menos un conjunto de coordenadas polares que satisfacen la ecuación.

3. "UNIDAD 3 "

   • Definición de una función vectorial
     • Una curva 𝐶 en el espacio tridimensional, o una curva espacial, se parametriza mediante tres ecuaciones
       • • La orientación de 𝐶 corresponde a valores crecientes del parámetro 𝑡. Al emplear las funciones en la ecuación anterior como componentes, la contraparte en el espacio tridimensional es: 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ(𝑡) = 𝑓 𝑡 𝒊 + 𝑔 𝑡 𝒋 + ℎ 𝑡 �
   • Límite de una función vectorial
     • Si 𝒓 es una función vectorial tal que 𝒓 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝒊 + 𝑔 𝑡 �
       • • Si 𝒓 es una función vectorial tal que 𝒓 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝒊 + 𝑔 𝑡 𝒋 + ℎ 𝑡 𝒌,
   • Integración de una función vectorial
     • Si 𝒓 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝒊 + 𝑔 𝑡 𝒋 + ℎ 𝑡 𝒌 es una función vectorial continua sobre el intervalo [𝑎, 𝑏], entonces la integral indefinida de 𝒓 está definida por
       • • La integral indefinida de 𝒓 es otro vector 𝑹 + 𝑪, donde 𝑪 es un vector constante.
   • Definición del vector unitario tangente Sea 𝐶 una curva suave en un intervalo abierto 𝐼 representada por 𝑟. El vector unitario tangente 𝑻(𝑡) en 𝑡 se define como:

4. "UNIDAD 4"

   • Funciones reales de varias variables.
     • Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) en el subconjunto del plano xy uno y solo un número z en el conjunto R de números reales.
       • EJEMPLO
         • • Curvas de nivel
             • si una función de dos variables está dada por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) entonces las curvas definidas por 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐, para una c apropiada, reciben el nombre de curvas de nivel de 𝑓. La palabra nivel proviene del hecho de que podemos interpretar 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐 como la proyección sobre el plano xy de la curva de intersección o traza de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y el plano (horizontal o de nivel) 𝑧 = 𝑐.
   • Funciones reales de varias variables.
     • Funciones reales de varias variables.
       • En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factible hacer un juicio acerca de la existencia de lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) a partir de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥). También, se aprovecha que lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe sí y sólo si lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) y lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) existe y son iguales al mismo número L, en cuyo caso lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿.
   • Funciones reales de varias variables.
     • Aplicando reglas de derivación ordinaria, se pueden calcular derivadas parciales aplicado a funciones de dos variables 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) Se calcula: 𝝏𝒛/ 𝝏𝒙 𝑦 𝝏𝒛 /𝝏�
       • Derivadas parciales de orden superior
         • Se calcula primera derivada:
           • Se calcula segunda derivada:
   • Regla de la Cadena
     • Suponga que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es diferenciable en (𝑥, 𝑦) y 𝑥 = 𝑔(𝑡) y que 𝑦 = ℎ(𝑡) son funciones diferenciables en 𝑡. Entonces 𝑧 = (𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 ) es una función diferenciable de 𝑡 y:
   • Diferenciación implícita
     • La diferenciación implícita nos permite encontrar pendientes de tangentes a curvas que claramente no son funciones (fallan en la prueba de la recta vertical). Estamos usando la idea de que porciones de y son funciones que satisfacen la ecuación dada, pero que y no es realmente una función de x.

5. "UNIDAD 5

   • Integración múltiple.
     • podemos definir la integración parcial como el concepto de la integración parcial es la clave para un método práctico de evaluación de una integral doble y triple.

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