5. FUNCIONES

5. FUNCIONES

1. 1. Funciones

   • Una función es una relación o correspondencia entre dos variables, x e y, de forma que, a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la variable dependiente, y.
   • La variable independiente, x, debe su nombre a que puede tomar diferentes valores, si bien solo entre aquellos que tengan sentido. Por su parte, la variable dependiente, y, se denomina así porque su valor depende del valor que tome x.
   • Para saber si una gráfica es o no una función, hay que fijarse en si hay algún valor de la variable x al que le correspondan dos o más imágenes distintas
   • Con un enunciado - La función se indica mediante frases tomadas del lenguaje cotidiano: «Un grupo de amigos planea ir al teatro. Cada entrada cuesta 20 €
   • Con una expresión algebraica - La función se indica a través de una expresión algebraica que asocia a cada valor de x un único valor de y. Se representa mediante y = f (x), que se lee «y es función de x». La expresión algebraica del enunciado anterior es y = 20x.

2. 2. Dominio y recorrido

   • El dominio de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se representa por D (f). El recorrido o imagen de una función, f (x), es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, y. Se representa por R (f) o Im (f).
   • CORTE CON EL EJE X - Los puntos de corte de una función, f (x), con el eje X se caracterizan por tener todos ellos su variable dependiente, y, igual a cero. Para obtenerlos, se iguala a cero la expresión algebraica de la función y se resuelve la ecuación: f (x) = 0 Así, los puntos de corte con el eje X se escriben (x , 0). Una función puede tener más de un punto de corte con el eje X.
   • CORTE CON EL EJE Y Los puntos de corte de una función, f (x), con el eje X se caracterizan por tener todos ellos su variable dependiente, y, igual a cero. Para obtenerlos, se iguala a cero la expresión algebraica de la función y se resuelve la ecuación: f (x) = 0 Así, los puntos de corte con el eje X se escriben (x , 0). Una función puede tener más de un punto de corte con el eje X. El punto de corte de una función, f (x), con el eje Y se caracteriza por tener su variable independiente, x, igual a cero. Para obtenerlo, se sustituye la variable x por el valor cero, x = 0, en la expresión algebraica de la función y se opera: x = 0 ⇒ y = f (0) Así, el punto de corte con el eje Y se escribe (0 , y). Una función solo puede tener un punto de corte con el eje Y, pues, de lo contrario, al valor x = 0 le corresponderían dos valores de y, con lo que, consecuentemente, no sería una función.

3. 3. Signo de una función

   • Estudiar el signo de una función consiste en ver en qué intervalos está su gráfica por encima o por debajo del eje X, es decir, en comprobar para qué valores de la variable independiente, x, la variable dependiente, y, es positiva, negativa o nula. Según su signo, una función puede ser:
     • Positiva - Una función es positiva si su gráfica está por encima del eje X. La variable dependiente, y, es positiva.
     • Negativa - Una función es negativa si su gráfica está por debajo del eje X. La variable dependiente, y, es negativa.
     • Nula - Una función es nula si su gráfica está sobre el eje X. La variable dependiente, y, es cero. En este caso se trata de los puntos de corte con el eje X.
   • No obstante, una función puede tener simultáneamente intervalos donde sea positiva, negativa y nula.

4. 4. Simetría y periodicidad de una función

   • La gráfica de algunas funciones presenta algún tipo de simetría, que puede darse con respecto al eje de ordenadas, Y, o con respecto al origen de coordenadas. Una función, f (x), es simétrica respecto del eje de ordenadas, eje Y, cuando en todos los puntos de su dominio se verifica que f (–x) = f (x).
   • Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas son denominadas funciones pares
   • Una función, f (x), es simétrica respecto del origen de coordenadas cuando en todos los puntos de su dominio se verifica que f (– x) = – f (x). Las funciones simétricas respecto del origen de coordenadas reciben el nombre de funciones impares.
   • Una función es periódica de periodo T cuando en todos los puntos del dominio de la función se verifica que f (x + T) = f (x). La gráfica de las funciones periódicas de período T se repite cada T unidades. Por ejemplo, la figura del margen muestra una función periódica de periodo 2, ya que se repite cada dos unidades.

5. 5. Crecimiento y decrecimiento de una función

   • tra de las características de una función que hay que estudiar es el crecimiento o decrecimiento en intervalos de su dominio. Según la variable dependiente aumente, disminuya o permanezca constante al aumentar la variable independiente, una función puede ser:
     • Creciente - Una función, f (x), es creciente en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) ≤ f (b).
     • Decreciente - Una función, f (x), es decreciente en un intervalo de su dominio si, para dos valores cualesquiera del intervalo, a y b, tales que a < b, se verifica que f (a) ≥ f (b).

6. 6. Máximos y mínimos

   • La gráfica de la derecha muestra una función que es creciente en los intervalos de su dominio (–∞ , –1) y (0 , 2) y decreciente en los intervalos (–1 , 0) y (2 , +∞). Como se ha visto anteriormente, en los extremos de estos intervalos de crecimiento y decrecimiento, la función ni crece ni decrece. Se dice que la función tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en estos puntos.
   • Una función, f (x), tiene un máximo relativo en x = a cuando existe un entorno del punto x = a en el que la imagen, f (a), es mayor o igual que la imagen de cualquier otro punto de ese entorno. La función del ejemplo tiene dos máximos relativos, uno en x = –1 y otro en x = 2. En dichos puntos, la función pasa de ser creciente a ser decreciente.
   • Una función, f (x), tiene un mínimo relativo en x = a cuando existe un entorno del punto x = a en el que la imagen, f (a), es menor o igual que la imagen de cualquier otro punto de ese entorno.

7. 7. Continuidad

   • En un centro comercial hay dos aparcamientos que aplican tarifas distintas. En el aparcamiento A, la tarifa viene determinada por la función y = 0,5 + 0,01x, donde la variable independiente, x, es el tiempo que permanece estacionado el vehículo, expresado en minutos, y la variable dependiente, y, es la tarifa expresada en euros. La primera gráfica del margen representa esta función. Dicha gráfica muestra un crecimiento sin ningún salto. Se trata, por tanto, de una función continua.
   • Una función, f (x), es continua en un intervalo de su dominio, si su gráfica se puede dibujar en ese intervalo de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.
   • En el aparcamiento B, por su parte, se cobra 1 € por cada hora o fracción de hora que un vehículo esté aparcado. Es decir, si está estacionado 1 min, pagará 1 €; si está 45 min, costará 1 €, y si está 1 h, también habrá que abonar 1 €; pero por un vehículo que permanezca 1 h y 1 min el importe será ya de 2 €. En la segunda gráfica del margen se muestra esta función, que, como puede observarse, presenta saltos en el coste del aparcamiento en x = 1, x = 2, x = 3, etc. Se trata de una función discontinua en dichos puntos.
   • Una función, f (x), es discontinua en un intervalo de su dominio, cuando su gráfica no puede dibujarse de un solo trazo en dicho intervalo, es decir, cuando presenta algún salto. Los puntos de la gráfica en los que se observan saltos se denominan puntos de discontinuidad.

8. 8. Tipos de discontinuidad

   • Una función que no es continua en todo su dominio puede presentar tres tipos de discontinuidad: discontinuidad evitable, discontinuidad inevitable de salto finito y discontinuidad inevitable de salto infinito. Una función tiene una discontinuidad evitable en x = a si la imagen de dicho punto no está en el trazo de la gráfica o el valor no pertenece al dominio de la función.
   • Una función tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en x = a si presenta un salto de longitud finita en ese punto. El punto x = a puede pertenecer o no al dominio.
   • Una función tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito en x = a si presenta un salto de longitud infinita en ese punto. El punto x = a puede pertenecer o no al dominio.

9. 9. Análisis, interpretación y construcción de gráficas

   • Las gráficas constituyen una potente herramienta para transmitir de forma visual información relativa a magnitudes que guardan algún tipo de relación; por eso, es frecuente encontrarse con ellas en diversas situaciones cotidianas.
   • Cuando la gráfica de una función corresponde a una situación real, además de realizar el análisis de todas sus características generales, es posible deducir información general sobre la situación representada mediante la interpretación de la gráfica.

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