FUNCIONES CUADRÁTICAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS

1. Las funciones cuadráticas son aquellas funciones cuya regla de correspondencia puede escribirse en la forma: f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0 (Grisales, 2018, p.175).

   • El ejemplo más simple de función cuadrática es la función básica f(x) = x2. Otros ejemplos son f(x) = x2 – 3x + 5, g(t) = –3t2 + 5t y p(q) = – q2 + 400; sin embargo, 2 1( )h x x = no es una cuadrática. Considere la función f(x) = (x – 2)2 + 1, cuya gráfica se muestra en la figura
     • • Ecuaciones de la Parábola
         • Unas de las figuras más comúnmente estudiadas en geometría analítica son las secciones cónicas, estas son los lugares geométricos que se obtienen al cortar con un plano dos conos circulares rectos opuestos por el vértice (Thomas y Finney, 2000)
           • La figura muestra una parábola que abre hacia la derecha y cuyo eje de simetría es paralelo al eje x.
             • En primera medida, se tiene que una parábola es el conjunto de todos los puntos en el plano de coordenadas xy que equidistan de una recta fija (directriz) y un punto fijo (foco). Como se observa en la figura las ramas de la parábola son simétricas respecto a un punto conocido como vértice, el cual es un punto medio entre la recta directriz y el foco y está ubicado sobre una línea recta paralela a los ejes coordenados llamada eje de simetría (Thomas y Finney, 2000).
             • Lo que se hace en geometría analítica es hallar una ecuación que represente el lugar geométrico en cuestión y a partir de la cual se puedan hallar todos y cada uno de los puntos que forman parte de dicha curva. Por otro lado, también se busca cómo a partir de la ecuación dada, se puede hallar la representación gemétrica correspondiente a dicho lugar gemético (Lehmann, 2007).
             • Para el caso particular de la parábola, dependiendo de la forma que tiene su ecuación, se tienen parábolas cuyas ramas abren hacia la derecha o hacia la izquierda, pero también parábolas cuyas ramas abren hacia arriba o hacia abajo. Además, estas parábolas pueden tener su vértice sobre los ejes coordenados o sobre ejes de simetría paralelos a estos.

2. FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO

   • Toda función de la forma y = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales. El número “a” ha de ser necesariamente distinto de cero, pero el “b” y/o el “c” sí pueden ser 0.
     • Hallar los coeficientes a, b y c en la función y = 2x2 − 3x − 7 a es el coeficiente de x2 por lo que a = 2 b es el coeficiente de x por lo que b = −3 Finalmente, c es el término independiente por lo que c = −7 La gráfica de una función polinómica de segundo grado es siempre una curva llamada parábola
       • • En esta figura se ve que una parábola es una curva que es simétrica con respecto a una recta vertical llamada eje de la parábola. El punto donde el eje de la parábola corta a la curva se llama vértice de la parábola. En caso de que el coeficiente a de x2 sea positivo, la parábola es abierta hacia arriba (o convexa) mientras que si a es negativo la parábola es abierta hacia abajo (o cóncava) (Santana, 2015)..

3. Vértice de una parábola

   • El punto más importante de la parábola es el vértice el cual se puede calcular de la siguiente forma: el valor de la coordenada x del vértice es x = − b/2a; hallado este valor, se sustituye en la función y se obtiene el valor de la coordenada y.
     • Hallar el vértice de la parábola y = x2 − 6x + 5. En este caso es x = − b 2a = − −6 2 · 1 = 3. Para hallar la segunda coordenada del vértice, sustituimos este valor en la función dada y resulta y = 32 − 6 · 3 + 5 = −4 por lo que el vértice de esta parábola es el punto V (3, −4)

4. Las diferentes formas en la ecuación de una parábola

   • • Hallar el vértice de la parábola y = x2 − 6x + 5. En este caso es x = − b/2a = − −6/2 · 1 = 3. Para hallar la segunda coordenada del vértice, sustituimos este valor en la función dada y resulta y = 32 − 6 · 3 + 5 = −4 por lo que el vértice de esta parábola es el punto V (3, −4)
       • y = x2 − 6x + 5
       • Punto de corte de la parábola con el eje Y
         • Toda parábola corta al eje de ordenadas en un solo punto. Pero la abscisa de cualquier punto del eje Y es siempre 0 por lo que el punto de corte de la parábola con el eje de ordenadas es P (0, f(0)). Ejemplo 6.8 Hallar el punto en que la parábola y = 2x2 − 3x − 5 corta al eje Y. Haciendo x = 0 resulta y(0) = 2 · 0 − 3 · 0 − 5 por lo que el punto de corte con el eje de ordenadas es P (0, −5)
       • Puntos de corte de la parábola con el eje X
         • A diferencia del punto de corte de la parábola con el eje vertical (que siempre es único), una parábola puede cortar al eje horizontal en dos puntos, uno o ninguno. Dado que la ordenada de todo punto del eje horizontal es nula para hallar los puntos de corte de la parábola con el eje horizontal se resuelve la ecuación y = 0.
           • Hallar los puntos de corte con el eje de abscisas de la parábola y = x2 − x − 6.

5. Ecuación canónica de una parábola

   • Sustituyendo el valor de y² de [4] en la igualdad [2] y, teniendo en cuenta que x = 0, se encuentra que PF = x + p/2. Así pues, PF = d (P, r) para estos puntos; es decir que estos puntos están sobre la parábola. La ecuación [4] se denomina ecuación canónica de la parábola.

6. Transformaciones en Gráficos de Funciones Desplazamientos Verticales y Horizontales

   • Desplazar vertical u horizontalmente son dos de las maneras que existen para convertir las funciones generales de una familia de funciones en sus contrapartes más complejas. ¿Qué desplazamientos verticales u horizontales se deben aplicar a la función general de y = x2 para poder graficar g(x) = (x - 3)2 + 4?
   • Desplazamiento vertical de las funciones cuadráticas
     • Supongamos que el departamento de marketing de una empresa está diseñando un nuevo logo que incluye una parábola. Han dibujado el logo en un gráfico en un trozo de papel, pero decidieron que quieren cambiar la posición de la parábola moviéndola tres unidades hacia abajo. Si la ecuación original de la parábola era

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