Conjuntos numéricos

Conjuntos numéricos

1. Los conjuntos numéricos son las categorías en las que se clasifican los números, en función de sus diferentes características

   • Existen diferentes tipos de números, por ejemplo, si tienen o no una parte decimal, o si poseen un signo negativo delante
   • Los tipos de números son:
     • Naturales
       • Enteros
         • Racionales
           • Irracionales
             • Los números irracionales no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tampoco se puede especificar una parte periódica que se repita, aunque se extienden hasta al infinito.Se identifica con la letra i (I)
               • Los números irracionales y los racionales son conjuntos disjuntos. Es decir, no tienen elementos en común
               • Veamos algunos ejemplos de números irracionales:
                 • Número de Euler: e= 2,71828182845...
                 • Número Pi: π= 3,14159265358...
               • Esto significa que, para un número irracional, no existe un par de números enteros que, divididos uno entre el otro, den como resultado ese número irracional
                 • Por tanto, son números reales que no somos capaces de expresarlos en forma de fracción porque desconocemos tanto el numerador como el denominador
               • Hay infinitos números, pero hay que prestar atención en saber diferenciarlos de los números racionales. Por ejemplo, ¿ 2,71828182845904523536028747135… es un número irracional?
                 • Sí, porque no podemos expresarlo como una fracción:
                   • 2,71828182845904523536028747135… = ?/?
           • Los números racionales incluyen no solo aquellos enteros, sino también los que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, de manera que pueden tener una parte decimal
             • El conjunto de números racionales puede expresarse de la siguiente forma:
               • Q=Z/Z
             • Conviene señalar que la parte decimal de un número racional puede repetirse indefinidamente, caso en el cual se le denomina periódico
               • 1/3= 0,3333333...
               • Así pues, puede tratarse de un periódico puro, cuando la parte decimal contiene uno o más números que se repiten al infinito
                 • o un periódico mixto, cuando después de la coma decimal hay algún número, o algunos números, que no se repiten, mientras que el resto sí se prolonga al infinito
         • Los números enteros incluyen los números naturales, más aquellos que también toman intervalos discretos, pero que tienen un signo negativo por delante, y se incluye el cero.Se expresan con la letra zeta (Z)
           • Dentro de este conjunto, cada número tiene su correspondiente opuesto con otro signo. Por ejemplo, el opuesto de 10 es -10.Lo podemos expresar de la siguiente manera:
             • Z = (-∞,...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...,∞)
           • Propiedades de los números enteros
             • Distributiva
               • Asociativa
                 • Conmutativa
                   • Para todos los números enteros a y b, tenemos: a+b=a+b
                 • Para todos los enteros a, b y c, tenemos: a+(b+c)=(a+b)+c
               • Identidad
                 • Adición inversa
                   • Para cualquier número entero a, existe un número entero negativo -a tal que: a+(-a)= 0
                 • Existen los números enteros 0 y 1, tal que para los números enteros a tenemos: a+0= a / a.1= a
               • Para todos los enteros a, b y c, tenemos: (a+b).c=a.c+b.c
       • Reales
         • Imaginarios
           • Complejos
             • Los números complejos son combinaciones de números reales y números imaginarios.En otras palabras, los números complejos son números que tienen una parte real y una parte imaginaria
               • Entonces, sabiendo que dentro de los números complejos encontramos los números reales y los números imaginarios, es más fácil comprender que los números complejos son combinaciones de números reales y números imaginarios
                 • Cuando pensemos en números complejos, debemos pensar en el adjetivo de “completo” más que en el adjetivo de “complicado”. Completo en el sentido que comprende ambos mundos: el real y el imaginario
               • Formula de un número complejo
                 • La representación más común de un número complejo es la suma de una parte real y una parte imaginaria. Al mismo tiempo, la parte imaginaria se divide entre la parte imaginaria y la unidad imaginaria
                   • Dado un número real y un número imaginario, podemos crear la siguiente combinación: h + ui
                     • Dónde:
                       • (H) es un número real
                       • (U) es la parte imaginaria
                       • (I) es la unidad imaginaria
                     • Las diferentes formas de números complejos que nos podemos encontrar son las siguientes:
               • Representación
                 • Si bien los números complejos se escriben como combinaciones de números reales e imaginarios, su representación gráfica también seguirá el mismo patrón
                   • A este gráfico se le llama plano complejo porque representa tanto los números reales como los números imaginarios, en otras palabras, los números complejos
           • Los números imaginarios forman parte del conjunto de los números complejos y son el producto de un número real por la unidad imaginaria i
             • En otras palabras, los números imaginarios son números que resultan de la multiplicación de un número real por la unidad imaginaria i, permitiendo resolver ecuaciones con raíces cuadradas negativas y ampliando el conjunto de los números complejos
             • Formula de los números imaginarios:
               • Dado un número imaginario r, este puede expresarse como: r= n.i
                 • Dónde:
                   • (R) es un número imaginario
                   • (N) es un número real
                   • (I) es la unidad imaginaria
             • La unidad imaginaria i es la raíz cuadrada de -1
               • Ejemplo de números imaginarios
                 • En las operaciones matemáticas que hacemos día a día encontramos números imaginarios más veces de las que creemos. Veámoslo resolviendo la siguiente raíz cuadrada:
                   • √-64= √(-64.-1)= √-64.√-1= 8.√-1
                     • ¿Cuántas veces hemos estado resolviendo una ecuación cuadrática y hemos dicho que no había solución porque nos encontramos con una raíz negativa?
                       • Pues bien, esta raíz negativa, sea la que sea, se puede descomponer, tal y como se indica arriba, y llegar a tener un número real y la unidad imaginaria
                         • En este caso, la parte real es el número 8 y la parte imaginaria es la raíz cuadrada de -1
                           • Entonces, la solución de esta raíz sería:√-64= 8.√-1= 8i
                             • √-64= 8i
         • Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real. Pueden clasificarse en números racionales (enteros y naturales) y números irracionales
           • Por tanto, los números reales incluyen absolutamente todos los números que están entre el -∞ y el +∞
             • Se identifica con la letra r (R)
           • ¿Cuáles son los números reales?
             • Imagina una línea interminable, llena de puntos que representan los números reales:
               • -∞..._________R_________...+∞
               • Tenemos los números naturales, como 1, 2, 3, que usamos a diario para contar cosas
               • Los números enteros se unen a la fiesta con el cero y los números negativos
               • También están los números racionales, que son como fracciones (0,5, 1/3…)
               • Y los números irracionales, únicos e inigualables, que no se pueden simplificar en fracciones (como por ejemplo el número π)
               • Todos ellos juntos forman el vibrante mundo de los números reales
                 • En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real
       • Los números naturales son aquellos que toman intervalos discretos de una unidad, y empiezan con el número 1, extendiéndose hasta el infinito
         • En términos formales, el conjunto de números naturales se expresa con la letra N y de la siguiente forma:
           • N = {1,2,3,4,5,...} = N\{0}
         • Los números naturales se clasifican de la siguiente manera:
           • Pares
             • números que al ser divididos entre dos no producen decimales
           • Impares
             • números que al ser divididos entre dos producen decimales
           • Primos
             • números que solo pueden ser divididos entre sí mismos y el número 1 sin producir decimales

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