Función exponencial y logarítmica

Función exponencial y logarítmica

1. 1. Función Exponencial

   • Dominio
     • El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales, es decir, 𝑅 R.
   • Recorrido:
     • El recorrido depende de la base 𝑎 a: Si 𝑎 > 1 a>1, el recorrido es ( 0 , + ∞ ) (0,+∞), ya que la función siempre es positiva. Si 0 < 𝑎 < 1 0<a<1, el recorrido también es ( 0 , + ∞ ) (0,+∞), pero la función decrece.
   • Propiedades de la función exponencial:
     • La función es siempre positiva, es decir, 𝑓 ( 𝑥 ) > 0 f(x)>0 para todo 𝑥 x. 𝑓 ( 0 ) = 1 f(0)=1, porque cualquier número elevado a 0 es 1. La función es continua y tiene una pendiente creciente o decreciente, dependiendo de la base 𝑎 a. Si 𝑎 > 1 a>1, la función es creciente. Si 0 < 𝑎 < 1 0<a<1, la función es decreciente. La función nunca toca el eje 𝑥 x, ya que no puede ser 0 (su valor mínimo es siempre positivo).
   • Casos según el valor de 𝑎 a:
     • Cuando 𝑎 > 1 a>1: La función es creciente. Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 f(x)=2 x . Cuando 0 < 𝑎 < 1 0<a<1: La función es decreciente. Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = ( 1 2 ) 𝑥 f(x)=( 2 1 ​ ) x .
   • Monotonía:
     • Monotonía creciente: Cuando 𝑎 > 1 a>1, la función es creciente en todo su dominio. Monotonía decreciente: Cuando 0 < 𝑎 < 1 0<a<1, la función es decreciente en todo su dominio.
   • Aplicaciones en la vida cotidiana:
     • La función exponencial se utiliza en muchos contextos, entre ellos: Crecimiento poblacional: En situaciones donde la población crece a un ritmo proporcional al número de individuos (como en el caso de las bacterias, o poblaciones que se multiplican rápidamente), la función exponencial modela este crecimiento. Intereses compuestos: En finanzas, cuando se calcula el interés compuesto, se usa una fórmula exponencial donde el valor de la inversión crece de acuerdo con una tasa fija. Desintegración radiactiva: Los elementos radiactivos se desintegran de manera exponencial, con un tiempo de vida media característico.

2. 2. Función Logarítmica

   • Dominio
     • El dominio de la función logarítmica es ( 0 , + ∞ ) (0,+∞), ya que el logaritmo solo está definido para valores positivos de 𝑥 x.
   • Recorrido
     • El recorrido de la función logarítmica es 𝑅 R, ya que puede tomar cualquier valor real dependiendo de 𝑥 x.
   • Propiedades de la función logarítmica
     • La función logarítmica es continua en su dominio ( 0 , + ∞ ) (0,+∞). log ⁡ 𝑎 ( 1 ) = 0 log a ​ (1)=0, ya que cualquier número elevado a 0 es 1. La función es siempre creciente si 𝑎 > 1 a>1, y decreciente si 0 < 𝑎 < 1 0<a<1. No está definida para 𝑥 ≤ 0 x≤0. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, es decir, log ⁡ 𝑎 ( 𝑎 𝑥 ) = 𝑥 log a ​ (a x )=x.
   • Casos según el valor de 𝑎 a:
     • Cuando 𝑎 > 1 a>1: La función logarítmica es creciente. Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = log ⁡ 2 ( 𝑥 ) f(x)=log 2 ​ (x). Cuando 0 < 𝑎 < 1 0<a<1: La función logarítmica es decreciente. Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = log ⁡ 1 2 ( 𝑥 ) f(x)=log 2 1 ​ ​ (x).
   • Monotonía:
     • Monotonía creciente: Cuando 𝑎 > 1 a>1, la función logarítmica es creciente. Monotonía decreciente: Cuando 0 < 𝑎 < 1 0<a<1, la función logarítmica es decreciente
     • Aplicaciones en la vida cotidiana:
       • La función logarítmica tiene aplicaciones en varios campos: Escalas logarítmicas: La escala de Richter para medir terremotos, que utiliza logaritmos para medir la magnitud de los terremotos. Acústica: La intensidad del sonido se mide en decibelios, que es una escala logarítmica. Tiempo de descomposición de productos o en modelos financieros: Al igual que la función exponencial, los logaritmos se utilizan en cálculos de crecimiento y decay.