Funciones cuadráticas

Funciones cuadráticas

1. Objetivos de aprendizaje

   • Determinar el valor mínimo o máximo de una función cuadrática. Resolver problemas que impliquen el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.
     • ejemplos
       • • Las antenas curvas, como las que se muestran en la Figura 1, se utilizan habitualmente para enfocar microondas y ondas de radio que transmiten señales de televisión y teléfono, así como para la comunicación por satélite y en naves espaciales. La sección transversal de la antena tiene forma de parábola, que se describe mediante una función cuadrática. En esta sección, investigaremos las funciones cuadráticas, que modelan problemas que implican el movimiento de áreas y proyectiles. Trabajar con funciones cuadráticas puede ser menos complejo que trabajar con funciones de mayor grado; de allí que brindan una excelente oportunidad para el estudio detallado del comportamiento de las funciones. resumele peero poco no tanto
           • ejemplo 1
             • 1. La EstructuraSe define como $f(x) = ax^2 + bx + c$.$a$ determina la dirección: Si es positivo ($a > 0$), la parábola abre hacia arriba; si es negativo ($a < 0$), abre hacia abajo.2. El Eje de SimetríaEs la línea vertical que parte la parábola a la mitad. Su fórmula es:$$x = -\frac{b}{2a}$$Este valor siempre coincide con el centro de las intersecciones (ceros) de la función.3. Ejemplo Práctico ($y = x^2 + 4x + 3$)Dirección: Como $a=1$ (positivo), abre hacia arriba.Simetría: Aplicando la fórmula, el eje está en $x = -2$.
           • imagen 2
             • 1. El Vértice $(h, k)$La fórmula es $f(x) = a(x - h)^2 + k$. La gran ventaja de esta forma es que el vértice $(h, k)$ se lee directamente de la ecuación sin necesidad de cálculos extra.2. Comportamiento de la ParábolaSi $a > 0$: Abre hacia arriba y el vértice es el punto más bajo (mínimo).Si $a < 0$: Abre hacia abajo y el vértice es el punto más alto (máximo).3. Ejemplo: $y = -3(x + 2)^2 + 4$Valores: $a = -3$, $h = -2$, $k = 4$.Análisis: Como $a$ es negativo, la parábola abre hacia abajo.Resultado: El punto más alto (vértice) está exactamente en $(-2, 4)$.
           • ejemplo 3
             • 1. La Clave: El Vértice $(h, k)$La fórmula es $f(x) = a(x - h)^2 + k$. Lo más importante es que las coordenadas del vértice $(h, k)$ se extraen directamente de la ecuación:$h$ es el valor que acompaña a la $x$ (con signo cambiado).$k$ es el término independiente al final.2. Apertura y ExtremosSi $a > 0$: La parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.Si $a < 0$: La parábola abre hacia abajo y el vértice es un máximo.3. Ejemplo Analizado: $y = -3(x + 2)^2 + 4$Identificación: Aquí $a = -3$, $h = -2$ y $k = 4$.Conclusión: Como $a$ es negativo, la curva abre hacia abajo y su punto más alto (máximo) está en $(-2, 4)$.
           • imagen 4
             • ejemplo 4
           • ejemplo 4
             • 1. Desplazamientos (El Vértice)Vertical ($k$): Si $k$ es positivo, la gráfica sube; si es negativo, baja.Horizontal ($h$): Si $h$ es positivo, se mueve a la derecha; si es negativo, a la izquierda.2. Forma de la Curva ($a$)Estiramiento ($|a| > 1$): La parábola se vuelve más "flaca" o estrecha (se aleja del eje $x$).Compresión ($|a| < 1$): La parábola se ve más "ancha" o abierta (se acerca al eje $x$).3. Equivalencia entre FormasLa forma estándar $a(x-h)^2 + k$ y la general $ax^2 + bx + c$ son lo mismo expresado de forma distinta. Al igualarlas, se demuestra matemáticamente que el centro de la parábola siempre está en:$$h = -\frac{b}{2a}$$
   • Reconocer las características de las parábolas.Comprender cómo se relaciona el gráfico de una parábola con su función cuadrática.

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